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立方抛物线

数学术语

立方抛物线(cubical parabola)方程为y=ax3（a≠0）的平面曲线，曲线关于原点对称，原点为其拐点，x轴为拐点切线。当a>0时，曲线在第一象限上凹伸向无穷远，在第三象限下凹伸向无穷远；当a<0时，曲线为y=∣a∣x3关于y轴作对称变换所得的曲线。

定义
在平面上一动点P到定轴Ox的距离 与该动点至定点O的连线 在定轴的射影 的立方之比为定值，那么该动点的轨迹叫做立方抛物线，如图1。亦即
那么，动点P运动的轨迹 ， ， ， ，...，就是立方抛物线。
有关名词简介
①极轴：定轴Ox；
②极点：定轴上的定点O；
③动径：动点至极点的距离 ；
④动径角：动径与极轴的夹角θ；
⑤切线：同摆线切线定义，如PT;
⑥法线：过切点垂直于切线的直线，如PN;
几何性质
①立方抛物线的直角坐标方程：
由定义知 ,令 , ,则有
上式化为极坐标方程：
令 ，则 代入直角坐标方程得
所以
当 时， 则 被限制在 内(n为整数)；
当 时， 则 被限制在 内(n为整数)；
②过立方抛物线上任意一点的切线的斜率为：
与横轴的交点
设曲线L:
其中，p为常数，此函数的图象L称为立方抛物线。
其次求出曲线L与横坐标轴的交点，即方程
的根。该方程有三个根
当p<0时，后两个是虚根，没有几何意义；当p>0时，上式为三个不同的实根，这时曲线L与横轴有三个交点；当p=0时，三个根重合为一个三重根x=0。
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