简化模型

自动化、计算机科学领域术语

简化模型（simplified model），也可以称之为模型简化，简单来说是指去掉模型中不显著的项，通过减少项数使模型更容易使用，或者是指减少模型的复杂度，使模型更容易计算。简化模型有着广泛的应用，特别是在大系统理论中，大系统是指结构上和维数上都具有某种复杂性的系统，所以对模型简化是十分必要的。

信息介绍

简化模型（simplifled model）指对所建的极力模型通过细致的分析和简化，所得到的较为简单的模型。简化的方法有：将非线性模型简化为线性模型;将高阶模型简化为低阶模型；将分布参数模型简化为集中参数模}，忽略系统中一些非主要的影响因素，就主要影响因素建立的模型；将时变参数模型简化为非时变参数模型；将一般非线性模型简化为特殊非线性模型，比如双线性模型等。

在科学领域，模型对客观现实的事物的某些特征与内在联系，所作的一种模拟或抽象。

为了研究一个过程或事物，可以通过在某些特征(形状或结构等)方面与它相似的“模型”来描述或表示。模型可以是所研究对象的实物模型，例如建筑模型、教学模型、玩具等；也可以是对象的数学模型*，例如公式或图形等。它能反映出有关因素之间的关系。在数学上，具体的函数或关系、欧氏几何*、群*、布尔代数*等各种结构，都可以作为数学模型。可以说，数学就是对数学模型所进行的研究。

一个数学结构，如果它使得公理化系统中的每个公式在其中都能解释为真，那么称此数学结构为这个系统的一个模型。一个公理系统的模型，不一定是惟一的。

大系统理论

研究规模庞大、结构复杂、目标多样、功能综合、因素众多的工程与非工程大系统的自动化和有效控制的理论。大系统指在结构上和维数上都具有某种复杂性的系统。具有多目标、多属性、多层次、多变量等特点。如经济计划管理系统、信息分级处理系统、交通运输管理和控制系统、生态环境保护系统以及水源的分配管理系统等。大系统理论是70年代以来，在生产规模日益扩大、系统日益复杂的情况下发展起来的一个新领域。它的主要研究课题有大系统结构方案，稳定性、最优化以及模型简化等。大系统理论是以控制论、信息论、微电子学、社会经济学、生物生态学、运筹学和系统工程等学科为理论基础，以控制技术、信息与通信技术、电子计算机技术为基本条件而发展起来的。大系统的自动化和有效控制，常用多级递阶系统和分散控制系统两种形式。其手段是“大系统的分析与综合”。

内容

大系统理论研究的主要内容和成果有：

1.大系统的建模及模型简化。其中最主要的成果是大系统的模型降阶方法，包括时域中各种模型集结方法和频域中各种模型近似匹配降阶方法。

2.大系统的稳定性分析.其中最主要的成果是用向量李亚普诺夫方法与加权和李亚普诺夫方法导出的以各孤立子系统的稳定性和子系统间关联项刻画的各种大系统稳定性判据，以及M矩阵在简化这些判据中的应用。

3.大系统的控制研究.其中最主要的成果是关于利用局部信息进行大系统分散控制和固定模与分散控制关系的研究，及其以分解-协调方法为基础的大系统各种递阶优化算法的研究。

特点

大系统没有严格的数学定义.文献中研究的大系统有如下特点：

1.规模庞大.通常系统中含有许多小系统，或跨越很大空间。

2.结构复杂.各小系统可能分级，控制采用的信息可分散，也可集中，分散信息又可分为完全分散或部分分散等。

3.功能综合.对一个大规模系统性能的评价是多指标、综合性的，大规模系统必须具备各种功能才能达到预期性能。大小和复杂程度是个相对概念，随着科学技术的发展，对大规模系统的理解也可能发生变化。

简化模型技术

简化模型技术分为两大类：一类是在传递函数模型上进行简化，或称频域简化；另一类则是在状态空间模型上进行简化，或称时域简化。

频域简化

频域简化技术主要有时间矩匹配、帕德近似、劳斯近似、连分式展开等。

以帕德近似为例

帕德近似(Pade approximation)是有理函数逼近的一种方法。帕德近似就是是法国数学家亨利·帕德发明的有理多项式近似法。帕德近似往往比截断的泰勒级数准确，而且当泰勒级数不收敛时，帕德近似往往仍可行，所以多用于在计算机数学中。

可用于大规模系统在频域的降阶.设G(s)是系统的传递函数，对G(s)进行幂级数展开得

G（s）=

Pade近似的主要缺点是：即使原系统是稳定的，简化模型甚至会出现不稳定。推究其原因，在比较系数矩阵时，不仅记入了传递函数矩阵的分母，也记入了分子。因此分子各项也直接影响到简化模型的稳定性。所以尽管此法十分简单，而且在不少情况下能获得较好的近似模型，但是并不处处可用。一般说来当稳定的高阶系统)(sG的分子多项式无零点，逼近过程中kl,，即)(sP的分母多项式系数只与)(sG的分母多项式系数有关，)(sP能够保持)(sG的稳定性。

时域简化

时域简化技术主要有集结法、摄动法等。

1968年，Aoki在主特征值简化模型的基础上，提出了降阶的集结法，此法是从矩阵A中抽取r个主特征值，建立简化模型。简化模型的状态向量Z和原系统的状态向量X，通过常量集结矩阵K相联系：

Z=K.X

这表明：Z不一定是物理上存在的状态变量，而是原状态变量中要保持的模式的某一确定的线性组合。集结法实质上是主特征值法简化线性系统的推广。

所谓摄动法实质上是将原系统的高阶模型中的一些内部关系或者参数忽略掉，从而得出低阶的简化模型。通常有两类摄动法：一类针对弱耦合系统，称作非奇异摄动；另一类针对强耦合系统，称作奇异系统。

网格模型简化算法

网格模型简化的实质是: 在尽量保证简化前后模型特征变化最小的情况下 ,寻求最少数量三角形网格模型的简化表示方法。网格模型简化过程通常为: 对给定的原始模型 Mo , 根据误差测度的大小，在一定的条件约束下，对 Mo 进行一系列的简化基本操作，最后得到简化后的网格模型 Ms。从上述简化过程可以看出,模型简化涉及到简化基本操作的实现、简化误差测度的确定和约束条件的控制和实现等主要技术和方法。

删减法

删减法是目前算法中采用最多的一种模型简化基本操作。该方法通过重复依次删除对模型特征影响较小的几何元素并重新三角化来达到简化模型的目的。根据删除的几何元素的不同, 通常又可以分成顶点删除(Vertex removal)法、边折叠(Edge collapse)法和三角面片折叠(Triangle col-lapse)法等。

采样法

采样方法首先将顶点(Vertex)或体素(Voxels)添加到模型表面或模型的三维网格上, 然后根据物理或几何误差测度进行顶点或体素的分布调整，最后在一定的约束条件下，生成尽可能与这些顶点或体素相匹配的简化模型。采样法适合于无折边、尖角和非连续区域的光滑曲面的简化, 对于非光滑表面模型简化效果较差。

自适应子分法

自适应子分法通过构造简化程度最高的基网格模型(Base model)，然后根据一定的规则 ,反复对基网格模型的三角面片进行子分操作，依次得到细节程度更高网格模型 ,直到新生成的

网格模型与原始模型误差达到给定的阈值。自适应子分法算法简单、实现方便等特点，但只适合于容易求出基网格模型的一些应用( 如地形网格模型简化等)，另外简化模型对于具有尖角和折边等特征的保持效果较差。

顶点聚类法

顶点聚类方法根据一定的规则，将原始网格模型中的两个或多个顶点合并成一个顶点，并删除合并顶点后的退化三角形，从而到达简化网格面片数量，实现网格模型的简化的目的。边折叠法也可以看成是顶点聚类法中两个顶点合并的情况。顶点聚类法能处理任意拓扑类型的网格模型，算法简单，速度较快。但由于简化误差控制困难，容易丢失较小结构的细节，因此通常简化模型的质量不高。

多边形合并(Polygon merging)

多边形合并法通过将近似共面的三角网格面片合并成一个平面，然后对形成的平面重新三角化，来实现减少顶点和面片数量的目的。也被称为面片聚类(Face clus-ter)和超面(Superfaces)法。该方法在合并和三角化过程中可能改变孔洞结构，因此不能保证简化前后模型的拓扑结构。

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