紧致性定理

数学术语

紧致性定理是符号逻辑和模型论中的基本事实，它断言一阶句子的（可能无限的）集合是可满足的（就是说有一个模型），当且仅当它的所有有限子集是可满足的。命题演算的紧致性定理是吉洪诺夫定理（它声称紧致空间的积是紧致的）应用于紧致Stone空间的结果。

定义

紧致性定理定义：

1）在一阶逻辑中，如果我们有一个公式集合（记作）并且是一个不满足式的公式集合，那么至少有一个有限个数元素的子集（记作）（）并且也是不满足式的集合

2) 注意到，如果有一个公式集合（记作）并且是一个可满足式的公式集合，那么对于所有有限个数元素的子集（记作） ( ) , 也是可满足式的集合

3)也就是，前提假设我们有一个子句（Clause）集合（记作）S，并且S中的所有子句是封闭的（Clause Fermee，也就是说子句中不含有变量），如果S是不可满足式的子句集合，当且仅当S至少有一个子集合S'，S'是有限集合并且S'是不可满足的集合

在3)中，我们把公式集合转化成子句集合S，（根据定理：），的可满足性和转化成的子句集合S的可满足性是等价的。

证明

我们对1)的证明如下：在证明前，我们需要知道如下定义：

a)完备性（Completude）定理的定义：前提假设我们有一个有限个数元素的子句集合（记作）S并且S中不含有变量（符号），如果S是不可满足的集合，那么S必定拥有一个驳斥（Refutation）。

b)驳斥（Refutation）的定义：一个子句集合S的驳斥是一个通过应用衍生方法产生的一系列子句并且最后的是一个空子句，我们叫做S拥有（或接受）一个驳斥，记作。

注意到当S拥有一个驳斥时，那么很显然集合S是有限的，产生的子句也是有限的，这是因为我们不能再运用衍生规则产生其它新的子句

c) 衍生（Derivation）的定义：从一个子句集合S,通过应用解决规则（regle de resolution）或因式分解规则（regle de factorisation）产生得到的一系列子句叫做衍生

d) 正确性（Correction）定理的定义：前提S是一个不含变量符号的子句集合，如果子句C是子句集合S通过应用解决规则或因式分解规则所的到的子句，那幺子句C是子句集合S的逻辑子序列（Consequence Logique），记作，也就是说集合S的所有模型（或称解释，指派）也是子句C的模型

e) 逻辑子序列（Consequence Logique）的定义：一个公式（或公式集合）是另一个公式（或公式集合）的逻辑子序列，当且仅当所有的模型（或称解释，指派）是的模型，记做

证明：

根据完备性定理我们可以知道子句集合S拥有一个驳斥，那么对应的集合也拥有驳斥，那么这两个集合都是有限的，所以一个S的子集合S'在衍生驳斥中也是有限的，我们根据正确性定理可以知道，通过应用衍生规则,S'也是不可满足的，那么很显然存在对应于S'的公式集合（）来说，由于含有以子句形式的集合S',那么集合必定是不可满足的。

应用

从这个定理可以得出，如果某个一阶句子对于特征值为零的所有域都成立，则存在着一个常量p，使得这个句子对特征值大于p的所有域都成立。这可以被看作为如下：假定S是要考虑的句子。那么它的否定~S，和域公理与句子的无限序列1+1 ≠ 0, 1+1+1 ≠ 0, ...一起，不能被假定所满足。所以这些句子的有限子集是不可满足的，意味着S在有足够大特征值的这些域中成立。

从这个定理还得出，有一个无限模型的任何理论都有任意大基数的模型。所以，有着带有不可数多个自然数的皮亚诺算术有非标准模型。非标准分析是出现无限个自然数的另一个例子，是不能被任何公理化所排除的可能事物，也是紧致性定理的一个推论。

紧致性定理也可用于探讨一些数学命题间的和谐性、独立性问题，例如可以用它证明数论中一些待解问题相对于自然数一阶理论的一些较弱子理论的和谐性或独立性。

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