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紧集

拓扑空间内的一类特殊点集

紧集是指拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。从某种意义上，紧集类似于闭集。

定义
设X为拓扑空间，K⊂X，若K的每个开覆盖均有有限子覆盖，则称K为紧集。
欧几里得定义
如果一个集合 包含在某个球内，也即存在 和 使得 ，那么该集合是有界的(bounded)。
有界的定义可以用某个固定的球心 表述，因为如果一个集合包含在球 中，那么它也包含在球 中。我们通常设定 来讨论有界性。
如果 是有界的闭集，那么S是紧集。
相关概念
定义1 设 是 中的一个点序列，设 为一个正整数序列，并且 [这里将 写成 较为方便]。由 组成的序列称为 的子序列。如果对于所选择的 ，X“¨， 收敛，就说序列 有一个收敛的子序列。
定义2 假设 是一个函数，自变量为 ，取值为 。设S为 的任意子集。则 是指对 的集合。换言之
称为S(关于函数 )的像(image)。
拓扑空间的子集称为预紧的，若其闭包为紧集。
拓扑空间称为局部紧空间，若其每点都有紧邻域。
性质
拓扑空间的紧集的闭集为紧集。
相关性质定理
定理1
是紧集，当且仅当每个序列 (其中 ，对 都有一个收敛于点 的子序列。
定理2
如果 是非空( )的紧集，那么S包含了一个最大数和一个最小数。
证明: 我们将证明集合S包含一个最大数。证明该集合包含一个最小数的方法是类似的。证明用到了有关实数集R的如下事实：如果一个非空的实数集有上界，那么它有最小上界(实数集S的上界是一个数b，对所有的 有 )。也就是说，存在一个数，称为LUB或者S的上确界(sup)，使得如果b是S的任意上界，有b≥sup(S)。假设 是非空( )的紧集。由于紧集是有界的，因而S有一个最小上界比如说 。首先假设 ，那么 是S中的最大数，否则就不是S的一个上界。接下来假设 。我们将证明 是S中点序列的极限，并且，由于S是闭集，因而 一定在S中。这与 的假设相矛盾。对每一个 ，存在一个 使得 ，否则S将有一个小于 的上界。于是 ，正如我们所要证明的。
定理3
设 为从 到 的连续函数。如果 是紧集，那么 也是紧集。
证明: 只需要证明，如果 是 中任意的点序列。那么存在一个收敛于 中某个点的子序列 根据 的定义，在S中存在点 使得对任意的 ，有 。由于S是紧集．因而存在 的一个子序列，称之为 使得对 ，有 。又由于 是连续的， 。但由于 ， 在 中。因此 是 的收敛于 中一个点的子序列。
定理4
设S为 的一个非空的紧子集，并设 为一个连续函数。则S中存在一个 和一个 ，使得
换言之，连续实值函数 在紧集S上既能取得极小值，也能取得极大值。
证明：根据定理3， 是紧集；根据定理2，由于 ， 中存在 和 ，使得
和 是S中使 和 的点。
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