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纳维-斯托克斯方程

粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程

纳维-斯托克斯方程（N-S方程）是描述黏性流体运动的偏微分方程，由法国物理学家克劳德-路易·纳维和爱尔兰数学家、物理学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士的工作发展而来。它基于牛顿第二定律推导，描述了牛顿流体的动量和质量守恒，考虑了压强、温度和密度等因素。该方程在流体力学中极为重要，可用于模拟天气、洋流和气流等体系，并在工程中有广泛应用。此外，其解的存在性和平滑性问题是数学界的千禧年难题之一。

理论
流速场
纳维-斯托克斯方程的解是流速场，它是一个矢量场。对于流体中的每一个点，在任何时刻，它都会给出一个矢量，表示流体在该点该时刻的速度。与经典力学不同，研究速度可能意义更大。速度场的流线是流体粒子行进的路径，通过流线可以直观地看到向量场在某个时间点的行为。
计算出速度场后，可以利用动力学方程和物理量之间的关系计算其它感兴趣的量，如压力和温度。
基本假设
纳维-斯托克斯方程基于如下假设：
有些时候，有必要考虑一个有限的体积，这被称为控制体积，上述假设在该体积中成立。控制体积可以在空间中固定，也可以随流体流动。
连续性方程
连续性方程表示在控制体积上定义的某些物理量的变化率等于其在边界的变化率与在源和汇创造或消耗的速率，这由以下微分方程表示
其中表示流速，表示向外的单位法向量，表示流动中的源和汇，将汇视为正。应用散度定理和雷诺传递定理，我们可以得到连续性方程的一般形式
这个关系可以用来表示流体中的质量、动量和能量守恒。
质量守恒
连续性方程中的是质量密度，没有质量源或汇时，连续性方程是
这个方程是质量的连续性方程。对于不可压缩流体，，此时方程简化为
动量守恒
将动量密度代入连续性方程，可以得到
应用如下公式
可以得到
柯西动量方程
柯西动量方程的一般对流形式是
这个方程可以由牛顿第二定律推导出来。其中，是柯西应力张量，是连续体上物体的加速度。将柯西应力张量拆成粘度项与压力项之和，可以得到
其中是单位矩阵。柯西动量方程与其它连续体方程的一个重要的特征是存在对流加速度：即使流动是稳定的，流动的加速度可能会随着空间变化。如流体在喷嘴中的加速。
可压缩流体
可压缩流体的纳维-斯托克斯方程应当满足如下假设：
下面是流体力学中常用的线性应力的本构方程
其中体积粘度系数和动态粘度系数不必是常数。一般来说，如果流体中包含单一的化学物质，那么动态粘度系数取决于压力和温度这两个热力学变量。而粘度系数还取决于过程，如声波交替压缩的流体元件，这个粘度系数取决于波的频率。通用的纳维-斯托克斯方程是
通常，可以忽略，被称为斯托克斯假说。在单原子气体中，斯托克斯假说是有效的，而在其它流体中斯托克斯假说往往不成立。根据斯托克斯假说，纳维-斯托克斯方程是
不可压缩流体
对于不可压缩流体的斯托克斯方程，柯西应力张量应该满足如下假设：
不可压缩流体中斯托克斯应力的本构方程是
这个本构方程也被称为牛顿黏度定律。动态粘度可能取决于密度和压力。在不可压缩流体中，纳维-斯托克斯方程是
其中被称为运动粘度，。不可压缩性排除了密度波和压力波，如声波或激波。不可压缩流体的假设适用于低马赫数的流体，例如在常温下模拟空气风。当密度和粘度恒定时，不可压缩的纳维-斯托克斯方程是
求解方法
从理论上讲，有了包括N-S方程在内的基本方程组，再加上一定的初始条件和边界条件，就可以确定流体的流动。但是，由于N-S方程比欧拉方程多了一个二阶导数项，因此，除在一些特定条件下，很难求出方程的精确解。
可求得精确解的最简单情况是平行流动。这方面有代表性的流动是圆管内的哈根-泊肃叶流动（详见管流）和两平行平板间的库埃特流动（详见牛顿流体）。
在许多情况下，不用解出N-S方程，只要对N-S方程各项作量级分析，就可以确定解的特性，或获得方程的近似解。
对于雷诺数的情况，方程左端的加速度项与粘性项相比可忽略，从而可求得斯托克斯流动的近似解。RA·密立根【罗伯特·安德鲁·密立根】根据这个解给出了一个有名的应用（密立根油滴实验），即空气中细小球状油滴的缓慢流动。
对于雷诺数的情况，粘性项与加速度项相比可忽略，这时粘性效应仅局限于物体表面附近的边界层内，而在边界层之外，流体的行为实质上同无粘性流体一样，所以其流场可用欧拉方程求解。
把N-S方程沿流线积分可得到粘性流体的伯努利方程：
式中为重力加速度；为单位质量流体克服阻力作功而引起的机械能损失。因此，流体沿流线流动时，机械能会转化成热能，使流体温度升高。
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