线性非移变系统

线性系统的输出响应与输入信号之间呈线性关系

线性非移变系统(linear shift-invariant system) 线性系统的输出响应与输入信号之间呈线性关系。亦称线性移不变系统。因此，满足叠加性与齐次性。

定义

若y1(n)及y2(n)分别为某系统对输入信号x1(n)及x2(n)的输出响应，则该系统为线性系统的充分必要条件是如图1。

其中a，b为任意常数，T为输入至输出的变换算子。其物理概念可理解为：线性系统对两个或两个以上输入信号的总响应等于该系统分别对其中各个输入信号的响应之和（即叠加）。非移变特性是指在同样起始状态下系统的响应与输入信号加于系统的位点（或时刻）无关。即如果系统对输入信号：x(n)的响应是y(n)，则对x(n-k)的响应就是y(n-k)，其中k为整数，可正可负。若n代表时间，则显然非移变性就相当于时间的移不变性。凡既满足叠加性和齐次性又满足非移变性的系统就是线性非移变系统，这一类系统的特性易于用数学表达，从而便于实现许多信号处理功能。又由于现实存在的各种系统中有许多种在一定的条件下均可近似于线性非移变系统，故长期以来对此类系统的研究一直受到广泛的重视及应用。

线性系统

线性系统是一数学模型，是指用线性运算子组成的系统。相较于非线性系统，线性系统的特性比较简单。线性系统需满足线性的特性，若线性系统还满足非时变性（即系统的输入信号若延迟τ秒，那么得到的输出除了这τ秒延时以外是完全相同的），则称为线性时不变系统。

状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。叠加原理是指:如果系统相应于任意两种输入和初始状态(u1(t),x01)和(u2(t),x02)时的状态和输出分别为(x1(t),y1(t))和(x2(t),y2(t)), 则当输入和初始状态为(C1u1(t)+C2u2(t),C1x01+C2x02)时，系统的状态和输出必为(C1x1(t)+C2x2(t),C1y1(t)+C2y2(t)),其中x表示状态,y表示输出，u表示输入，C1和C2为任意实数。一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统。但是，相反的命题在某些情况下可能不成立。线性系统的状态变量(或输入变量)与输出变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为系统的数学模型。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。两者可分别计算。这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。

严格地说，实际的物理系统都不可能是线性系统。但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。例如一个电子放大器，在小信号下就可以看作是一个线性放大器，只是在大范围时才需要考虑其饱和特性即非线性特性。线性系统的理论比较完整，也便于应用，所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理。例如在处理输出轴上的摩擦力矩时，常将静摩擦当作与速度成比例的粘性摩擦来处理，以便于得出一些可用来指导设计的结论。从这个意义上来说，线性系统是一类得到广泛应用的系统。

不变系统

时不变系统是输出不会直接随着时间变化的系统。

如果输入信号x(t) 产生输出 y(t)，那么对于任意时间延迟的输入将得到相同时间延迟的输出。

如果系统的传递函数不是时间的函数，就可以满足这个特性。这个特性也可以用示意图的术语进行描述

如果一个系统是时不变的，那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。

为了表明如何确定系统是时不变系统，我们来看两个系统如图3.

由于系统 A 除了x(t)与y(t) 之外还显式地依赖于 t 所以它是时变系统，而系统 B 没有显式地依赖于时间 t 所以它是时不变的。

重要性质

线性非移变系统的三个重要性质：

1）调谐输入总是产生相同频率的调谐输出，调谐信号的实部和虚部相互独立的通过系统。

2）系统的传递函数—一个仅依赖于频率的的复值函数，包含了系统的全部信息。

3）传递函数对一调谐信号输入只产生两种影响—幅度的变化和相位的平移（时间原点的平移）。