细拓扑

数学术语

细拓扑(fine topology)是由给定的下半连续函数族确定的、比原来拓扑细的一种拓扑。拓扑是集合上的一种结构。

概念

细拓扑(fine topology)是由给定的下半连续函数族确定的、比原来拓扑细的一种拓扑。在非空集合Ω上赋予拓扑T，设Φ是一族从(Ω，T)到[0，+∞]的下半连续函数组成的凸锥(设+∞∈Φ)，把形如：

的集全体记为S，那么S∪T所生成的拓扑T0是使Φ中每个函数都连续的最粗拓扑，称之为(相对于Φ与T的)细拓扑。细拓扑下的开集、闭集、闭包、极限等分别称为细开集、细闭集、细闭包、细极限等。在格林空间中，若不另作申明，则总认定Φ是非负超调和函数全体。一般地，谈及细与瘦的概念时，都假定有了确定的Φ与T。

拓扑

拓扑是集合上的一种结构。设T为非空集X的子集族。若T满足以下条件：

1.X与空集都属于T;

2.T中任意两个成员的交属于T;

3.T中任意多个成员的并属于T;

则T称为X上的一个拓扑。具有拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为(X，T)。

设T1与T2为集合X上的两个拓扑。若有关系T1T2，则称T1粗于T2，或T2细于T1。当X上的两个拓扑相互之间没有包含关系时，则称它们是不可比较的。在集合X上，离散拓扑是最细的拓扑，平凡拓扑是最粗的拓扑。

下半连续函数

下半连续函数是指其上方图形为闭集的函数。设X是拓扑空间，f：X→R∪{+∞}，f≢+∞.若在x0∈X有网：

则称f在x0为下半连续。若f在X中每点均为下半连续，则称f在X上为下半连续。.f：X→R∪{+∞}为下半连续⇔ᗄc∈R，fc={x∈X|f(x)≤c}是X中的闭集⇔epi(f)={(x，t)∈X×R|f(x)≤t}是X×R中的闭集。若在上述定义中，将网xα换为序列xn，则得到f为依序列下半连续的概念。当然，在度量空间中，此二概念等价。当函数(-f)：X→R∪{+∞}为下半连续时，则称函数f：X→R∪{-∞}为上半连续。f在某点为连续，等价于f在此点既上半连续又下半连续。紧拓扑空间上的下半连续函数或序列紧拓扑空间上的依序列下半连续函数可达到其下确界。

凸锥

凸锥是一类特殊的凸集。实线性空间中既是凸集又是锥的集合称为凸锥。凸锥C满足C+C⊂C。对于X中的任何子集A，由它生成的凸锥是其元素的所有正线性组合的全体。而当A是凸集时，由A生成的凸锥就是λA。如果凸锥C满足C∩(-C)={0}，那么经常用它来定义实线性空间中的半序关系。对于x，y∈X，定义x≥y为y∈x+C。则≥满足：

1.x≥x.

2.x≥y，y≥x⇒x=y.

3.x≥y，y≥z⇒x≥z.

子概念

开集

开集是拓扑空间的基本概念之一。在集合X上确定适当的拓扑结构T后，T中的元素就称为T开集，在不致混淆时亦简称开集。拓扑T亦称为开集系。开集的补集是闭集，开集G的每一点都是G的内点，G也是G的任一点的邻域。开集、闭集、内部、闭包等概念都是康托尔(Cantor，G.(F.P.))在研究欧几里得空间的子集类时引进的。豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1914年将它们推广到抽象空间。

闭集

闭集是拓扑空间的基本概念之一。拓扑空间中开集的补集称为闭集。集合A是闭集当且仅当A等于它的闭包，或A的每个聚点都属于A。拓扑空间X中闭集的全体称为X的闭集系。由闭集的定义可得到与开集对偶的三条性质：

1.空集∅与X均为闭集。

2.任意多个闭集的交是闭集。

3.任意两个闭集的并是闭集。

闭包

闭包是图论的一个基本概念。指由一个图所派生出的另一个图。具体地说，一个图G的闭包H是指符合下列条件包含边最少的图：G是H的支撑子图；对于H上任何两不相邻节点v和w，都有ρH(v)+ρH(w)哈密顿图。称节点次之和特别是两个节点次之和所满足的条件为奥尔型条件。所谓一个图G的k闭包，是指符合下列条件且包含边最少的图H：G是H的支撑子图；对于H上任何两不相邻节点v和u，都有ρH(v)+ρH(u)

极限

数学分析的基本概念之一。由“无限逼近”思想而产生的一个重要数学概念。如果变量x按照某一规律变化，终于无限地逼近某一个常数c，则称c为x的“极限”，记作limx=c或x→c。特别对于数列a1，a2，…an来说，如果当n无限增大时，数列的项an终于无限地接近一个常数c，则称c为此数列的极限或称此数列收敛于c，记作liman= c。极限思想在古希腊的穷竭法和中国古代的割圆术中已经萌芽。在牛顿的微积分中也含有极限思想。但是直到1821年，法国数学家柯西把极限概念建立在算术化的基础上，人们对极限的理解才摆脱几何直观的局限。极限是一种方法，可用以计算函数的导数即变化率，或在整个分析中用来逼近一个真实量，例如曲线包围的面积，定义它为某种矩形和所逼近的极限。圆内接正多边形的边数无限增加时，其面积的极限等于圆面积。极限的得出是“从有限中找到无限”(恩格斯)的认识方法在数学中的表现。只有无穷运算才会产生极限问题。极限总是和一个无限变化过程相联系。

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