统计量

统计学术语

统计量是统计理论中用来对数据进行分析、检验的变量。宏观量是大量微观量的统计平均值，具有统计平均的意义，对于单个微观粒子，宏观量是没有意义的．相对于微观量的统计平均性质的宏观量也叫统计量。需要指出的是，描写宏观世界的物理量例如速度、动能等实际上也可以说是宏观量，但宏观量并不都具有统计平均的性质，因而宏观量并不都是统计量。

简介

定义

样本的已知函数；其作用是把样本中有关总体的信息汇集起来；是数理统计学中一个重要的基本概念。统计量依赖且只依赖于样本x1,x2,…xn；它不含总体分布的任何未知参数。

从样本推断总体（见统计推断）通常是通过统计量进行的。例如x1,x2，…，xn是从正态总体N(μ,1）（见正态分布）中抽出的简单随机样本，其中均值（见数学期望）μ是未知的，为了对μ作出推断，计算样本均值。可以证明，在一定意义下，塣包含样本中有关μ的全部信息，因而能对μ作出良好的推断。这里只依赖于样本x1,x2，…，xn，是一个统计量。

统计量

样本矩

设x1,x2，…，xn是一个大小为n的样本，对自然数k，分别称为k阶样本原

点矩和k阶样本中心矩，统称为样本矩。许多最常用的统计量，都可由样本矩构造。例如，样本均值（即α1）和样本方差是常用的两个统计量，前者反映总体中心位置的信息，后者反映总体分散情况。还有其他常用的统计量，如样本标准差，样本变异系数S/塣，样本偏度，样本峰度等都是样本矩的函数。若(x1,Y1），（x2,Y2），…，（xn,Yn）是从二维总体（x，Y）抽出的简单样本，则样本协方差·及样本相关系数也是常用的统计量，r可用于推断x和Y的相关性。

次序统计量

把样本X1,x2，…，xn由小到大排列，得到，称之为样本x1,x2，…

,xn的次序统计量。其中最小次序统计量x⑴最大次序统计量x(n）称为极值，在那些如年枯水量、年最大地震级数、材料的断裂强度等的统计问题中很有用。还有一些由次序统计量派生出来的有用的统计量，如：样本中位数是总体分布中心位置的一种度量，若样本大小n为奇数，，若n为偶数，，它容易计算且有良好的稳健性。样本p分位数Zp(0区间估计）。

U统计量

这是W.霍夫丁于1948年引进的，它在非参数统计中有广泛的应用。其定义是：设x1,x2，…，xn，为简单样本，m为不超过n的自然数，为m元对称函数，则称为样本x1,x2，…，xn的以为核的U统计量。样本均值和样本方差都是它的特例。从霍夫丁开始，这种统计量的大样本性质得到了深入的研究，主要应用于构造非参数性的量的一致最小方差无偏估计（见点估计），并在这种估计的基础上检验非参数性总体中的有关假设。

秩统计量

把样本X1，X2，…，Xn 按大小排列为，若则称Ri为xi的秩，全部n个秩R1，R2，…，Rn构成秩统计量，它的取值总是1,2，…，n的某个排列。秩统计量是非参数统计的一个主要工具。

还有一些统计量是因其与一定的统计方法的联系而引进的。如假设检验中的似然比原则所导致的似然比统计量，K.皮尔森的拟合优度（见假设检验）准则所导致的Ⅹ统计量，线性统计模型中的最小二乘法所导致的一系列线性与二次型统计量，等等。

完全性

统计量是由样本加工而成的，在用统计量代替样本作统计推断时，样本中所

含的信息可能有所损失，如果在将样本加工为统计量时，信息毫无损失，则称此统计量为充分统计量。例如，从一大批产品中依次抽出n个，若第i次抽出的是合格品，则xi=0，否则xi=1(i=1,2，…，n）。总体分布取决于整批产品的废品率p，可以证明：统计量，即样本中的废品个数，包含了（x1，x2，…，xn）中有关p的全部信息，是一个充分统计量。若取m

充分性是数理统计的一个重要基本概念，它是R.A.费希尔在1925年引进的，费希尔提出，并由J.奈曼和P.R.哈尔莫斯在1949年严格证明了一个判定统计量充分性的方法，叫因子分解定理。这个定理适用面广且应用方便，利用它可以验证很多常见统计量的充分性。例如，若正态总体有已知方差，则样本均值塣是充分统计量。若正态总体的均值、方差都未知，则样本均值和样本方差S合起来构成充分统计量（塣，S）。一个统计量是否充分，与总体分布有密切关系。

将样本加工成统计量要求越简单越好。简单的程度的大小，主要用统计量的维数来衡量。简单地讲，若统计量T2是由统计量T1加工而来（即T2是T1的函数）T2比T1简单。在此意义上，最简单的充分统计量叫极小充分统计量。这是E.L.莱曼和H.谢菲于1950年提出的。前例中的充分统计量都有极小性。在任何情况下，样本x1,x2，…，xn本身就是一个充分统计量，但一般不是极小的。

关于统计量的另一个重要的基本概念是完全性。设T为一统计量，θ为总体分布参数，若对θ的任意函数g（θ），基于T的无偏估计至多只有一个（以概率1相等的两个估计量视为相同），则称T为完全的。

抽样分布

统计量的分布叫抽样分布。它与样本分布不同，后者是指样本x1,x2，…，xn的联合分布。

统计量的性质以及使用某一统计量作推断的优良性，取决于其分布。所以抽样分布的研究是数理统计中的重要课题。寻找统计量的精确的抽样分布，属于所谓的小样本理论（见大样本统计）的范围，但是只在总体分布为正态时取得比较系统的结果。对一维正态总体，有三个重要的抽样分布，即Ⅹ分布、t分布和F分布。

Ⅹ分布　设随机变量x1,x2，…，xn是相互独立且服从标准正态分布N(0,1），则随机变量的分布称为自由度为n的Ⅹ分布（其密度函数及下文的t分布、F分布的密度函数表达式均见概率分布）。这个分布是 F.赫尔梅特于1875年在研究正态总体的样本方差时得到的。若x1,x2，…，xn是抽自正态总体N（μ,σ）的简单样本，则变量服从自由度为n-1的Ⅹ分布。若x1，x2，…，xn服从的不是标准正态分布，而依次是正态分布N（μi,1）（i=1,2，…，n），则的分布称为非中心Ⅹ分布，称为非中心参数。当δ=0时即前面所定义的Ⅹ分布。为此，有时也称它为中心Ⅹ分布。中心与非中心的Ⅹ分布在正态线性模型误差方差的估计理论中，在正态总体方差的检验问题中（见假设检验），以及一般地在正态变量的二次型理论中都有重要的应用。

t分布设随机变量ξ，η独立，且分别服从正态分布N(δ,1）及自由度n的中心Ⅹ分布，则变量的分布称为自由度n、非中心参数δ的非中心t分布；当δ=0时称为中心t分布。若x1，x2，…，xn是从正态总体N（μ,σ）中抽出的简单样本，以塣记样本均值，以记样本方差，则服从自由度n-1的t分布。这个结果是英国统计学家W.S.戈塞特（又译哥色特，笔名“学生”）于 1908年提出的。t分布在有关正态总体均值的估计和检验问题中，在正态线性统计模型对可估函数的推断问题中有重要意义，t分布的出现开始了数理统计的小样本理论的发展。

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