群

数学概念

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

定义

若集合，在上的二元运算（该运算称为群的乘法，注意它未必是通常意义下数的乘法，其结果称为积）构成的代数结构，满足：

1. 封闭性：即G的任意两个元素在下的运算结果都是该集合的一个元素。（，）；

2. 结合律：，有；

3.单位元（幺元）：中存在元素，使G中任意元素与之相乘（包括左乘和右乘）的结果都等于本身。（，使，有）；

4. 逆元：，，使得，称为的逆元，记为，

则称为一个群，或乘法群，简记作。

在无歧义时，可将 a·b写成 ab。

有时由于上下文的原因，群上的二元运算亦可称为加法（同样未必是通常意义下数的加法），此时该运算通常记为，群元素的运算也被记为如同的形式，而群也可被称为加法群。

性质

设是一个群，则

性质3,4,5,6的证明如下：

（3）根据定义4，使得。由于和均为中元素并且关于乘法封闭，所以也在中。令，则，因此方程在中有解。

同理可证另一个方程在中有解。

（4）若，则两边左乘，根据结合律即可得，同理可证右消去律。

（5）设是的逆元，则。根据消去律可知。

（6）由封闭性易证。由于，所以是的逆元。根据逆元的唯一性可知结论成立。

注意：性质4的消去律虽然是由逆元的存在性以及单位元e的存在性证明的，但是不能将定义中的3：单位元的存在性和4：逆元的存在性替换为消去律。例如考虑正整数集以及通常意义下的乘法，在乘法下正整数集满足封闭性、乘法结合律和消去律，但显然无法构成一个群，因为除了单位元“1”以外所有元素都不存在逆元。

但是，如果将集合限定为有限集，则只要它满足封闭性、结合律和消去律，它就是一个群。

简单例子

例1

在普通乘法下是群。

证：

（1）封闭性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1

（2）结合律：成立

（3）单位元：1

（4）逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1

例2

在的加法下是群.

证：

（1）封闭性：除以n的余数只能是，故封闭性成立

（2）结合律：成立

（3）单位元：0

（4）逆元素：对任意元素a有，a的逆元

置换群

定义为集合上所有双射的集合，并定义合成映射，这里是的任意元素。构成一个群，这个群被称为置换群，记为或。

例集合的三个元素置换群组成 .

一般线性群

定义为所有n阶实可逆方阵的集合，乘法为矩阵乘法，则构成一个群。

这个群称为一般线性群，记为。