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若尔当容度

长度或面积、体积概念的推广

若尔当容度(Jordan content)是长度(或面积、体积)概念的一种推广。若尔当容度具有非负、单调、有限可加及在正交变换下(可测性及容度)不变等性质。它是由佩亚诺(Peano，G.)于1887年、若尔当(Jordan，M.E.C.)于1892年提出的。若尔当在其1893年出版的《分析教程》中对它作了详细阐述，提出的目的主要是为了完善黎曼意义下的二重积分理论。黎曼积分只能在若尔当可测集上进行。若尔当容度是与黎曼积分相适应的，它的局限性在于，可测集类不够广泛和只有有限可加性(例如有理点集就是不可测的)，这也说明了黎曼积分的局限性。

基本介绍
若尔当容度是长度(或面积、体积)概念的一种推广，以平面情形为例，设A为 平面上的有界点集，先用平行于x轴和平行于y轴的直线，将 平面分为边长为1的闭正方形网格，第二次再将这每个正方形分为四个大小相同的闭正方形，如此下去，用 表示至少含A的一个点的那些第n次所得闭正方形组成之集，用 表示第n次得到的正方形中全部含于A的那些组成之集，并且用 分别表示 和 中的闭正方形的面积之和。数 和 分别称为A的外容度和内容度。当A的内、外容度相等时，A称为若尔当可测，这个公共值称为A的若尔当容度，简称容度，记为 。对直线上以及一般 中的集合可以类似地定义它的可测性及容度。可以证明，一个集合在若尔当意义下可测与否以及可测时的容度数值，与上述定义中的分法及坐标轴方向无关。
相关性质
定义1设S是的一个紧区间的一个子集．对于的每个划分P定义了是P的只包含S的内点的那些子区间的测度的和，是P的包含的点的那些子区间的测度的和。下面两个数
分别称为S的(n维)若尔当内容度和若尔当外容度，集合S称为是若尔当可测的，如果。在S若尔当可测的情况下， 的这个共同值称为S的若尔当容度， 用来表示。
容易验证仅依赖于S，而不依赖于包含S的区间，而且有。
如果S有零容度，则。于是，对于每一个，S可以被区间的一个有限族覆盖，该有限族中各区间测度之和。注意零容度是用有限覆盖的语言来描述的，而零测度是用可数覆盖的语言来描述的。任何有零容度的集合也有零测度，但是反过来说则未必成立。
每一个紧区间Q都是若尔当可测的，而且它的容度等于它的测度。如果k
内的若尔当可测集S也称为有面积。在这种情况下，和分别表示从S的“内部”与“外部”对S的面积的逼近，这在图1中进行了描绘，图中带有浅色阴影的矩形算在内，带有深色阴影的矩形算在了内。对于内的集合，也称为S的体积。
下面这个定理表明一个有界集有若尔当容度当且仅当它的边界不是太“厚”。
定理1 设S是内的一个有界集，表示它的边界，则有
于是S是若尔当可测的，当且仅当有零容度。
定理2 设S是内的一个若尔当可测集，在S上定义且有界，于是于S，当且仅当在S内的不连续点构成一个零测度集。
定理3 设S是内的一个紧的若尔当可测集，于是积分,存在，而且有
下面这个定理表明黎曼积分关于有若尔当容度的集合是可加的。
定理4 假定在内的一个若尔当可测集S上有，假设，其中A与B都是若尔当可测的，但是它们没有公共的内点．于是于A，于B，而且有
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