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调和共轭

数学术语

当共线四点的交比B(y，s；u，v)=-1时，称v是y、s和u的第四调和点，y、s、u、v称为调和点列，又称u、v调和分割y和s，或u、v和y、s调和共轭，如果平面上过一点的四条直线η、ζ、φ、ψ的交比等于一1，也称φ、ψ和η、ζ是调和共轭的。

定义
调和共扼是高等几何中的一个重要概念，它既能体现点与点，线与线，点与线之间的一些特殊位置关系，又能对欧氏几何中的一些概念和性质作出射影解释，进而理顺欧氏几何与射影几何间的某些关系。射影几何中的调和共扼是通过交比值来定义的。
调和点列(harmonic range of points)是射影几何的基本概念之一，即射影直线上交比等于-1的四个点，交比 时，称点偶P3，P4 调和分离点偶P1，P2；或称点偶P1，P2与点偶P3，P4调和共轭；并称P1，P2，P3，P4四点为调和共轭点；也称P4为P1，P2，P3的第四调和点.交比-1称为调和比，若P1P2是普通线段，则也称P3，P4两点把线段P1P2调和分割。点偶调和分离(或点偶调和共轭)的关系是相互的，即与点偶的顺序无关。当(P1P2，P3P4)=-1时，可求得由这四点构成的其他交比的值为2或1/2，并且当四点构成的交比值为2或1/2时，可以适当改变点的顺序，使其中两点与其他两点调和共轭。
交比
交比是射影变换的基本不变量，它和高等几何的各部分内容密切相关。调和比是特殊的交比，它不仅具有交比的一切性质，又具有自己独特的特点和作用。当（AB，CD）=-1 时，称 C、D 调和分割 A、B，或点偶 C、D 与点偶 A、B 成调和共轭，D称为 A、B、C 的第四调和点。这里，A、B、C、D 是互异的实点，在调和共轭中，两对对应点的关系是完全对等的。由对偶原理知，运用交比和调和共轭的概念和有关性质，可以比较简便地解决一些初等几何和复变函数、偏微分方程方面的问题。
交比(cross ratio)又称“复比”，如果 是直线上的四个不同点，且 则
称为这四点在这顺序下的交比。对偶地，如果 是射影平面上共点的四条不同直线，且
则
称为这四直线在这顺序下的交比，四个共线点或四条共点直线的交比在射影变换之下是不变的。
相关定理
定理1 共线四点交比取 的充要条件是四点有两点重合。
定理2 共线的不同四点所成的六组交比中，有相同值的充 要条件是此四点能配成调和共轭。
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