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调和测度

数学名词

调和测度(harmonic measure)是特殊的狄利克雷问题的解，是边界点集的一种测度。设D为一个区域，其边界∂D由有限条若尔当弧组成，∂D分为α和β两部分，则在D内存在惟一的一个有界调和函数u(z)在α上取边值1，在β上取边值0，称u(z)为α关于区域D的调和测度，记为ω(z，α，D)。

定义
设区域 的边界是由有限条简单闭曲线组成， 表示 上的某有限条曲段， 一个D内的有界调和函数 满足：当 时
当 且 时，
则称 为点 关于 的调和测度。
显然调和测度是由边值函数 所确定的有界的广义狄里克雷问题的解。这个解存在且唯一。
基本性质
调和测度 具有如下基本性质：
(1) 若 不是由有限个点组成的，则 不为常数，并且对于任意的 有 。
(2) 设 ，则
特别地，
(3) 若 则
(4) 如果 的边界有非空交集，且 则对任意的 有
(5) (共形不变性)设 为区域D上的共形映射， 则
这些性质都是不难理解的。
定理1 ( 二常数定理)设 在区域D内解析，C为D的边界，由有限条简单闭曲线组成， 是属于C的有限条弧段， 为 关于C的余集，如果 在区域D上有界，并且对于异于 端点的边界点 有
则对于D内任何一点z，有
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