跨声速流数值计算

跨声速流数值计算 (numerical computation of transonic flow)跨声速流的主要特点就是既有亚声速又有超声速的混合流场。以高亚声速机翼绕流为例，亚声速流场占据着外流场的绝大部分，只是在机翼表面附近有小块的超声速流场，并可能出现激波。

概述

跨声速流的主要特点就是既有亚声速又有超声速的混合流场。以高亚声速机翼绕流为例，亚声速流场占据着外流场的绝大部分，只是在机翼表面附近有小块的超声速流场，并可能出现激波。如果激波不太强，则整个无粘流场可以用等熵无旋流来处理。这种流动具有速度势函数，速度分量便是势函数的方向导数。描述这种流场的基本运动方程是空气动力学中常用的速度势方程。当流场中的速度偏离声速不太远，还可以用小扰动理论将速度势方程进行简化，二维定常流动的小扰动方程是：

(1-Ma2)φxx+φyy=0，

式中φ为扰动速度势函数，φ的下标表示偏微商。这个方程既是非线性的(因为马赫数Ma是速度的函数)，又是混合型的。在超声速区(Ma>1)，它和波动方程一样属于双曲型；在亚声速区(Ma<1)。它又类似拉普拉斯方程，属椭圆型。

解跨声速位势流的方法

解跨声速位势流的方法主要有下面几种：

速度图法

此法为苏联学者C．A．恰普雷金于1905年提出。它的实质是把定义于物理平面(x，y)上的方程，通过严格的数学变换转换到速度平面(u，v)上，使变换后的方程在速度平面上是线性的。这样就可用叠加法来求解速度势函数。然后再把结果反演到物理平面上，从而得到物理平面上的解。对从物面上的已知压力分布来求物面形状的这类问题，速度图法特别有用，但它不能用来计算含有激波的流动，而且也不能推广到三维流动。

混合差分法

跨声速流数值计算的一个常用方法是有限差分方法，此法将微分方程离散化，变成差分方程，在一定的初边值条件下直接求解，但在定常流动中，亚声速区和超声速区扰动传播规律不同。在亚声速区。扰动向四周相邻区传播，而在超声速区，扰动只向下游影响区传播。影响区是以扰动源为顶点的后向马赫锥。E．M．穆曼和J．D．科尔针对这种流场的特点，采用了混合差分格式。在亚声速区用中心差分，因为所有邻近点上的参数值都会影响计算点，这也是椭圆型方程的特点，在超声速区则用迎风格式，因为上游迎风网点正好是双曲型波动方程的依赖区，也就是前向马赫锥(图1)。对薄物体绕流来说，流线方向基本沿着x轴，所以只要对x的偏导数用混合差分格式即可(图2)。对钝体绕流来说，流场中各点的流线方向偏离x轴很大，因而须旋转坐标轴，使x轴与当地流线方向一致，然后对x的导数用混合差分。A·詹姆森正是用这种方法改进了原来的混合差分格式，称为“旋转差分法”，此法能提高计算精度，但计算工作量也随之增加。

时间相关法

时间相关法实际上是把一个定常绕流问题，看作是一个非定常绕流问题在时间趋向无穷时的稳定解。非定常无粘流动的基本方程是：

式中u、v是速度在x、y方向上的分量；E为能量；p为压强，ρ为密度；t为时间。下标t、x、y表示对它们的偏微商。上式代表四个偏微分方程，它们的变量是ρ、u、v和E，也可用ρ、ρu，ρv和ρE这四个变量表示，视计算时的方便而定。第一个偏微分方程是ρt+(ρu)x+(ρv)y=0，余类推。无论是超声速流动还是亚声速流动，这组方程总是双曲型的，都可用相同的差分格式。但这组方程已有成熟的解法。R．马格纳斯和H．姚希哈娜利用差分方程的数值粘性自动“捕捉”激波，G．莫雷蒂利用完全守恒型格式来处理激波，他们都成功地进行了定常跨声速流动的计算。

时间相关法能计算含有强激波的有旋流，但所需的计算时间很长，往往是混合差分法的数倍。跨声速流计算今后的任务主要在于提高对复杂组合体计算的精度和计算效率。

参考书目

G.Y.Nieuwland and B. M.Spee,Transonic Airfoils,Recent Developments　in　Theory, Experiment　and Design,Annual　Review　of Fluid Mechanics,Vol.5,1973.

罗时钧、郑郁文、雪蝶茜、钱鸿编著：《跨声速定常势流的混合差分法》，国防工业出版社，北京，1979。

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