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边界点

拓扑空间的基本概念

边界点是拓扑空间的基本概念之一。如果点ζ的任何邻域内都既有属于集合A的点，也有不属于A的点，则称点ζ为A的一个边界点。A的所有边界点组成的集合称为A的边界。

历史背景
边界点是拓扑空间的基本概念之一，边界概念是康托尔(Cantor，G.(F.P.))在研究欧几里得空间的子集情形时首先引入的。
拓扑定义
设A是拓扑空间X的子集，x∈X，若x既不属于A的内部，又不属于A的外部，亦即x的任意邻域既含有A的点也含有不属于A的点，则称x是A的边界点。A的所有边界点组成的集合称为A的边界，记为.
注：将A的全部内点组成的集合记为Ao，则有
流形定义
设M为带边流形，则p∈M称为M的流形边界点，若存在坐标卡(U,φ)，使得φ(p)为中的边界点。
举例
例1 设A=[-1，0）∪{1/n | n∈N}，则
例2 考虑有理点集Q，则
拓展
边界点处理在数据挖掘技术中有重要意义，它们代表了一类归属并不明确的个体，如果单纯地依靠某种方法把其归类到一个特定的簇中，其效果往往适得其反。边界点不同于孤立点和噪声点。孤立点是一类在统计上处于少数地位的对象，噪声点是一类对统计产生干扰或者偏离一定分布的对象，它们通常位于数据空间的低密区域中，而边界点则不同，它们是数据空间中处于高密区域边沿的一类数据对象，它们的一侧是高密区域，一侧是相对的低密区域。
聚类技术的研究是近几年研究的一个热点，已经提出的许多聚类算法，但是，对聚类边界模式的探讨还不多。聚类的边界点是指位于高密聚类边沿的一类数据对象，它代表了游离在两个或多个类别之间的一类个体对象，其归属并不明确，它们常常具有两个或两个以上的聚类特征。边界点研究有着重要的应用价值。
Chen Xia等提出了聚类边界点检测算法BORDER，其边界点的定义如下：
定义 边界点(Boundary point)：一个边界点p是指满足下列两个条件的数据对象：
（1）它位于一个高密的区域IR；
（2）p的附近存在一个区域IR’，Density(IR) >> Density(IR’)，或者Density(IR) << Density(IR’)。
聚类的边界代表了一种潜在的模式，对数据挖掘的着重要的意义。但是涉及的边界的算法并不多，对其的研究远远不够。
在DBSCAN算法中，提到边界点：一个非核心点对象，如果其落在某核心点的Eps-邻域内，则称之为边界点。一个边界点可能同时落入一个或多个核心点的Eps-邻域。
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