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透视对应

射影对应

透视对应(perspective correspondence)是一种特殊的射影对应，设l与l′是同一平面上的两条直线，在l与l′上各添加一个无穷远点，就可以由中心投影建立直线l上的点与直线l′上的点之间的一一对应，这种通过中心投影所建立的两直线上的点之间的一一对应称为两直线间的透视对应。同样，引入无穷远元素以后，也可以通过中心投影建立两平面的点之间的一一对应，该对应就称为两平面之间的透视对应。若点列s(A，B，C，…)与线束S(a，b，c，…)在中心投影之下建立了一一对应，则称该对应为点列s与线束S之间的透视对应，在这种透视对应中，点列s是从直线s截割线束S得到的截影，该点列称为该线束S的透视点列，点S称为透视中心。而线束S是从点S投影点列s而得到的投影，该线束称为点列s的透视线束，直线s称为透视轴，对应的点列s和线束S称为透视的。若两个点列s(A，B，C，…)和s′(A′，B′，C′，…)都是同一线束S的截影，则称这两个点列间的对应为透视对应。若两个线束S(a，b，c，…)和S′(a′，b′，c′，…)都是同一点列s的投影，则称这两个线束间的对应为透视对应。

定义
定义1线束与不通过中心S的直线s相交，得一点列，则点列叫做线束在直线s上的截影，如图1所示。
对偶地，有下面的定义。
定义2 点列的点与不在底s上一点S连接，得一线束，则线束叫做由点S投射到的线束。
在图1中，以点S为中心的线束被以s为底的点列截得的截影为
在图1中，从点列到线束的投影为
定义3 如果点列是线束在直线s上的截影，那么这个截影叫做从线束到点列一个透视对应，记为
定义4 如果两个点列与同一个线束成透视对应，那么这两个点列叫做透视点列，线束中心叫做透视中心，两点列中同在线束的一条直线上的两点叫做对应点。
如图2所示，线束分别在直线和上的截影与成透视点列，记为
其中点S为透视中心，有时点S可以不写。点分别与点是对应点。
对偶地，有下面的定义。
定义5 如果两个线束与同一点列成透视对应，那么这两个线束叫做透视线束，点列的底叫做透视轴，两线束中交于透视轴上同一点的一对直线叫做对应直线。
如图3所示，由点分别投射到点列所得的两个线束与成透视线束，记为
其中点列的底s是透视轴，有时s可以不写。直线分别与直线是对应直线。
由上讨论可知，两个成透视对应的点列，其中对应点的连线必共点；两个成透视对应的线束，其对应线的交点必共线。
注：显然，透视关系具有对称性，但是它不具有传递性，如图4所示，
但与不能保持透视关系，因为它们的对应点连线不一定共点。
定理
定理1 不同底两点列间的射影对应，成为透视对应的充要条件是：它们底的交点自对应。
定理2 不同中心两线束间的射影对应，成为透视对应的充要条件是；它们中心的连线自对应。
定理3 不同底两点列间的射影对应必可分解为两个透视对应的乘积。
两点列（或两线束）间的透视对应是保交比（两点列间的射影对应保持四点的交比不变）的一一对应，从而必为射影对应，但射影对应却未必是透视对应。
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