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重复排列

排列的一种

重复排列是排列的一种。从n个不同的元素中，每次取出m个元素，但同一元素可以重复取出，排成一列，称为一个可重复排列。在作一个可重复排列时，如果元素a被取上几次，排列中它就出现几次，但同一元素的位置交换不能认为是不同排列。两个可重复排列相同当且仅当所取的元素相同，并且同一元素取的次数相同，在排列中占的位置也相同。从n个元素中可重复地选取m个元素的可重复排列个数称为可重复排列种数。

定义
从n个不同的元素中每次取出 r 个元素，并且允许元素重复出现的排列叫做允许重复的排列，即重复排列，其排列总数记作。
可以通过例题理解重复排列。
例1 由1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个五位数?
解： 第一位(万位)可以是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的任何一个，因而有9种确定第一位的方式；
由于题目中没有限制数字不重复，即允许数字重复，因而第二位(千位)，第三位(百位)，第四位(十位)和第五位(个位)都各有9种确定的方式；
因此可以组成9×9×9×9×9=95(个)五位数。
例2 有10个灯泡并联在一起，排成一排，由灯泡“亮”与“不亮”可以组成多少个不同的信号?
解： 每个灯泡都有“亮”与“不亮”两种信号，因此有
个不同的信号。
我们分析一下这两个例题：
像12 234，23 335就是例1中的两个不同的排列，其中2和3重复出现在排列中，在例2中，如果设1为灯泡“亮”，0为灯泡“不亮”，这样1000100011就是例2中的一个排列，其中0和1都重复出现在排列中。
重复排列规律
关于重复排列的计数方法有下面的规律。
定理1
设有n个不同的元素，从这n个不同的元素中每次取出 r 个元素的重复排列的个数为
证明: 设取出的 r 个元素排在 r 个位置上。
第一个位置上可以取n个不同的元素中的任何一个，所以有n种不同的取法；
由于元素允许重复，所以第二个位置也有n种不同的取法；
同样，每个位置上的元素都有n种不同的取法。
所以，从这n个不同的元素中每次取出 r 个元素的重复排列的个数为
这里需要指出的是 n 和 r 只要都是正整数就可以，r 不受 n 的约束，即 r 可以小于n，也可以大于n，也可以等于n。
例题解析
例3 从1到100 000的所有正整数中，至少有一位包含1的正整数有多少个?
解： 从1到100 000的所有正整数共有105个，在这些数中，不包含1的正整数，相当于从0，2，3，4，5，6，7，8，9取出5个的重复排列，有
(个).
但是，其中有一个数00 000不是正整数。
从1到100 000的所有正整数中，至少有一位包含1的正整数，应该从1到100 000的所有正整数中减去不包含1的正整数，由于其中也减去了00 000，故多减去一个，于是，从1到100 000的所有正整数中，至少有一位包含1的正整数有
105－(95－1)=105－95+1=40 952(个).
例4 有7封信，随意投人3个信箱，有多少种投法?
解： 第1封信有3种投法，由于是随意投入信箱，因此，投入的信箱允许重复，所以第2，3，4，5，6，7封信也都有3种投法，于是共有(种)投法。
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