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鞍点

微分方程的概念

鞍点（Saddle point）在微分方程中，沿着某一方向是稳定的，另一条方向是不稳定的奇点，叫做鞍点。在泛函中，既不是极大值点也不是极小值点的临界点，叫做鞍点。在矩阵中，一个数在所在行中是最大值，在所在列中是最小值，则被称为鞍点。在物理上要广泛一些，指在一个方向是极大值，另一个方向是极小值的点。

定义
广义而说，一个光滑函数（曲线，曲面，或超曲面）的鞍点邻域的曲线，曲面，或超曲面，都位于这点的切线的不同边。
示例
参考图1，鞍点这词来自于不定二次型x^2-y^2的二维图形，像马鞍：x-轴方向往上曲，在y-轴方向往下曲。
检验二元是函数F（x，y）的驻点是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的Hessian矩阵：如果黑塞矩阵的行列式小于0，则该点就是鞍点。
函数在驻点(0,0)的黑塞矩阵是：
我们可以看到此矩阵有两个特征值2，-2。它的行列小于0，因此，这个点是鞍点。然而，这个条件只是充分条件，例如，对于函数z = x4 − y4，点(0,0)是一个鞍点，但函数在原点的黑塞矩阵是零矩阵，并不小于0。如图2，一维鞍点看起来并不像马鞍！在一维维空间里，鞍点是驻点．也是反曲点点。因为函数图形在鞍点由凸转凹，或由凹转凸，鞍点不是区域性极点。
应用
思考一个只有一个变数的函数。这函数在鞍点的一次导数等于零，二次导数换正负符号．例如，函数y=x^3就有一个鞍点在原点。
思考一个拥有两个以上变数的函数。它的曲面在鞍点好像一个马鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高线图里，一般来说，当两个等高线圈圈相交叉的地点，就是鞍点。例如，两座山中间的山口就是一个鞍点。
C语言代码
stdio.h
conio.h
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 0
#define ERROR 1
#define MAXX 80
void Print(int * const pMatrix, const int m, const int n);
void Input(const int * const pm, const int * const pn);
void CreatTureMatrix(int ** const pMatrix,int ** const pTrueMatrixconst, const int m, const int n);
OutPrint(int ** const pMatrix, int ** const pTrueMatrix, const int m, const int n );
int main(void)
{
{
const int m = FALSE, n = FALSE;
Input(&m, &n);
{
int * pMatrix = NULL, * pTrueMatrix = NULL;
CreatTureMatrix(&pMatrix, &pTrueMatrix, m, n);
Print(pMatrix, m , n);
Print(pTrueMatrix, m, n);
OutPrint(&pMatrix, &pTrueMatrix, m, n);
}
}
getch();
return (OK);
}
void Print(int * const pMatrix, const int m, const int n)
{
int * p = NULL;
for(p = pMatrix; p < pMatrix + m*n; ++p)
{
if( !( (p - pMatrix)%n- (n-1) ) )
}
}
void Input(const int * const pm,const int * const pn)
{
{
int flag = TRUE;
while(flag)
{
{
flag = TRUE;
fflush(stdin);
}
else if( (*pm<=0 || *pm>=10) && (*pn<=0) || (*pn>=10) )
{
flag = TRUE;
}
else
{flag = FALSE;}
}
}
}
void CreatTureMatrix(int ** const pMatrix,int ** const pTrueMatrix, const int m, const int n)
{
*pMatrix = (int *)malloc( m*n*sizeof(int) );
*pTrueMatrix = (int *)calloc( m*n,sizeof(int) );
{
int *p = NULL;
for(p = *pMatrix; p < *pMatrix + m*n; ++p)
}
{
int * p = NULL;
for(p = *pMatrix; p < *pMatrix + m*n; p += n)
{
int * pMaxj = p;
{
int * q = NULL;
for(q = p + 1; q < p + n; ++q)
{
if(*q > *pMaxj)
{pMaxj = q;}
}
}
{
int * q = NULL;
for(q = pMaxj; q < p + n; ++q) /*此处处理所有（不严格）最大值*/
{
if( !(*q - *pMaxj) )
{
int * r = NULL;
for(
r = *pMatrix + (q - *pMatrix)%n
;(r < *pMatrix + m*n) && (*r >= *pMaxj)
;r += n
);
if( r >= (*pMatrix + m*n) )
{*(*pTrueMatrix + (q - *pMatrix)) = 1; }
}
}
}
}
}
}
OutPrint(int ** const pMatrix, int ** const pTrueMatrix, const int m, const int n )
{
int count = 0;
int * p = NULL;
for(p = *pTrueMatrix; p < *pTrueMatrix + m*n; ++p)
{
if(*p)
{
, (p - *pTrueMatrix)/n, (p - *pTrueMatrix)%n
, *(*pMatrix + (p - *pTrueMatrix)) );
++count;
}
}
free(*pMatrix);
*pMatrix = NULL;
free(*pTrueMatrix);
*pTrueMatrix = NULL;
if(count)
{
const int xPos = wherex(), yPos = wherey();
if(xPos - 1)
{gotoxy(xPos - 2, yPos); }
else
{gotoxy(MAXX - 1, yPos - 1); }
} /*此处TC一类特有的函数gotoxy（）*/
else
}

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