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驻点

数学概念

在数学中，尤其是在微积分中，一个可微实值函数的驻点（英语：Stationary Point）是指其一阶导数为 0 的点。驻点又称稳定点，是临界点（英语：Critical Point）的一种。非正式地说，函数在驻点处的值停止增加或减少，因而得名。从几何上看，对于单变量可微实值函数，驻点处的切线平行于x轴；对于两个变量的可微实值函数，驻点处的切平面平行于xy平面。值得注意的是，一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点；一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点。

定义
单变量可微实值函数的驻点是指其一阶导数为 0 的点。对于多变量可微实值函数，驻点是指其所有一阶偏导数均为 0 的点，或等价地说，是其梯度为 0 的点。 对于一般的微分流形之间的可微映射，驻点的概念被推广为临界点，是指在这一点处的切映射不是满射的点。
分类
类单变量实值函数的孤立驻点可依其一阶导数在驻点附近的正负分为以下四类：
局部极小值点：其一阶导数在驻点处由负转正，此时函数在驻点处取局部极小值。
局部极大值点：其一阶导数在驻点处由正转负，此时函数在驻点处取局部极大值。
上升拐点：其一阶导数在驻点的一个邻域内均为正，此时驻点也是函数的拐点，同 时在这点附近是单调递增的。
下降拐点：其一阶导数在驻点的一个邻域内均为负，此时驻点也是函数的拐点，同 时在这点附近是单调递减的。
应当注意区分拐点与驻点的区别。拐点是指使函数凹凸性改变的点。前两类点统称为局部极值点，而后两类点不是局部极值点的驻点，也被称为鞍点。
例子
以下的例子有助于区分驻点、拐点和极值点的区别。注意根据费马引理，可微函数的极值点一定是驻点。
1. 考虑函数，我们有。0是函数的驻点但不是拐点。即使，在0处由负转正，0不是的极值点。
2. 考虑函数,我们同样有。此时0既是驻点也是拐点。 在 0 处的一个邻域内均为正。同时函数在0处并没有极值。
3. 考虑函数,我们有但。0 不是函数的驻点，但它 是拐点。在0处取局部极大值。
4. 考虑函数。0是函数的极小值点，但因其在0处不可微，它不是驻点。
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