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龙格库塔法

工程中高精度单步算法

数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

经典四阶法
在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。
令初值问题表述如下。
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：
其中
这样，下一个值（yn+1）由现在的值（yn）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：
当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：
RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h阶，而总积累误差为h阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。
显式法
显式龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出
其中
（注意：上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义）。
要给定一个特定的方法，必须提供整数s（级数），以及系数aij（对于1 ≤j
龙格库塔法是自洽的，如果
如果要求方法的精度为p阶，即截断误差为O(h)的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求b1+b2= 1,b2c2= 1/2, 以及b2a21= 1/2。
例子
RK4法处于这个框架之内。其表为：
然而，最简单的龙格-库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式为。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为：
隐式方法
以上提及的显式龙格库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格库塔方法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格库塔方法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格库塔方法，一般而言，隐式龙格库塔方法具有以下形式：
其中
在显式龙格库塔方法的框架里，定义参数的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格库塔方法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别：
需要注意的是，与显式龙格库塔方法不同，隐式龙格库塔方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加了计算的成本。
程序
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define f(x,y) (-1*(x)*(y)*(y))
void main(void)
{
double a,b,x0,y0,k1,k2,k3,k4,h;
int n,i;
for(h=(b-a)/n,i=0;i!=n;i++)
{
k1=f(x0,y0);
k2=f(x0+h/2,y0+k1*h/2);
k3=f(x0+h/2,y0+k2*h/2);
k4=f(x0+h,y0+h*k3);
y0+=h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
x0+=h;
}
}
运行结果：
input a,b,x0,y0,n:0 5 0 2 20
x0 y0 k1 k2 k3 k4
0.000000 2.000000 -0.000000 -0.500000 -0.469238
-0.886131
0.250000 1.882308 -0.885771 -1.176945 -1.129082
-1.280060
0.500000 1.599896 -1.279834 -1.295851 -1.292250
-1.222728
0.750000 1.279948 -1.228700 -1.110102 -1.139515
-0.990162
1.000000 1.000027 -1.000054 -0.861368 -0.895837
-0.752852
1.250000 0.780556 -0.761584 -0.645858 -0.673410
-0.562189
1.500000 0.615459 -0.568185 -0.481668 -0.500993
-0.420537
1.750000 0.492374 -0.424257 -0.361915 -0.374868
-0.317855
2.000000 0.400054 -0.320087 -0.275466 -0.284067
-0.243598
2.250000 0.329940 -0.244935 -0.212786 -0.218538
-0.189482
2.500000 0.275895 -0.190295 -0.166841 -0.170744
-0.149563
2.750000 0.233602 -0.150068 -0.132704 -0.135399
-0.119703
3.000000 0.200020 -0.120024 -0.106973 -0.108868
-0.097048
3.250000 0.172989 -0.097256 -0.087300 -0.088657
-0.079618
3.500000 0.150956 -0.079757 -0.072054 -0.073042
-0.066030
3.750000 0.132790 -0.066124 -0.060087 -0.060818
-0.055305
4.000000 0.117655 -0.055371 -0.050580 -0.051129
-0.046743
4.250000 0.104924 -0.046789 -0.042945 -0.043363
-0.039833
4.500000 0.094123 -0.039866 -0.036750 -0.037072
-0.034202
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