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共轭复数

数学术语

共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（conjugate complex number）。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反，如果虚部为零，其共轭复数就是自身（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。复数z的共轭复数记作z（上加一横），有时也可表示为Z*。同时, 复数z（上加一横）称为复数z的复共轭（complex conjugate）。

公式
根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 =a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面
共轭复数的共轭性质：1）加和为实数。 2）在复平面上，共轭复数所对应的点关于实轴对称。
共轭复数有些有趣的性质：
另外还有一些四则运算性质。
代数特征
（1）|z|=||；
（2）z+=2a（实数），z－=2bi；
（3）z· =|z|2=a2+b2（实数）。
加法法则
复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
减法法则
两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）
即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i
乘法法则
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i.
除法法则
复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。
即：
开方法则
若zn=r(cosθ+isinθ），则 （k=0，1，2，3……n-1）
共轭法则
z=x+iy的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy
即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2
即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。
z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对。
运算特征
（1）
（2）
（3）
（4） (z2≠0)
总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）。
模的运算性质
① | z1·z2| = |z1|·|z2|
②┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
③| z1－z2| = | z1z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线
表示复数z的共轭复数，表示复数z的共轭复数的共轭复数，即=z。
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