子群

群的特殊的非空子集

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

概念简介

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

群的概念

一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

子群的判别

关于群的子群的判别问题，有下列命题：

1.设H是群的非空子集，则H是G的子群当且仅当H满足下列两条件之一：

（1）对任意a,b∈H，a·b∈H 且a^(-1)∈H；

（2）对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。

任何群有两个平凡的子群：G和e，其中e是G的幺元。

子群的基本性质

H是群G的子群当且仅当其为非空集且在乘积和逆运算下为封闭的。(封闭条件是指：任两个在H内的元素a和b，ab和a−1都为在H中。这两个条件可以结合成一个等价的条件：任两个在H内的a和b，ab−1也会在H内。)在H是有限的情状下，则H是一个子群当且仅当H在乘积下为封闭的。(在此一情形下，每一个H的元素a都会产生一个H的有限循环子群，且a的逆元素会是a−1 = an − 1，其中n为a的目。)

上述的条件可以用同态来叙述；亦即，H为群G的子群当且仅当H为G的子集且存在一个由H映射到G的内含同态(即对每个a，i(a) = a)。

子群的单位元亦是群的单位元：若G是个有单位元素eG的群，且H为具有单位元素eH之G的子群，则eH = eG。

一个子群内的一元素之逆元素为群内的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且a和b为会使得ab=ba=eH之H内的元素，则ab = ba = eG。

子群A和B的交集亦为一个子群。但其联集亦为一个子群当且仅当A或B包含着另外一个，像是2和3是在2Z与3Z的联集中，但其总和5则不是。

若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为且称为由S产生的子群。G内的一个元素在内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。

群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群。若同构于某一正整数n之Z/nZ，则n会是最小个会使得an = e的正整数，且n被称为是a的“目”。若同构于Z，则a会被称有“无限目”。

任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论联集“所产生”的子群。)若e为G的单位元素，则其当然群{e}会是群G的最小子群，而其最大子群则会是群G本身。

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