密铺

平面图形的镶嵌

密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在国际折纸奥林匹克竞赛中，密铺折纸也称为“镶嵌折纸”。

举例说明

正多边形的密铺

正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120°，在每个拼接点处恰好能容纳3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108度，而360°不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面。

我们都知道，铺地时要把地面铺满，地砖与瓷砖之间就能留有空隙。如果用的地砖是正方形，它的每个角都是直角，那么4个正方形拼在一起，在公共顶点处的4个角，正好拼成一个360度的周角。六边形的每个角都是120度， 3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度数的和正好也是360度。除了正方形、长方形以外，正三角形也能把地面密铺。因为正三角形的每个内角都是60度，6个正三角形拼在一起时，在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。

正因为正方形、正六边形拼合以后，在公共顶点上几个角度数的和正好是360度，这就保证了能把地面密铺，而且还比较美观。

因为只有正三角形、正方形、正六边形的内角的整数倍为360°，因此正多边形中仅此三者可以密铺。

圆形不能密铺，但正三角形和等腰梯形、直角梯形能密铺

五边形密铺

如图1，这是五边形密铺的结构图，2015年发现了新的可密铺五边形，即第十五种可密铺五边形。

可单独密铺的图形

1、任意三角形、任意凸四边形都可以密铺。

2、正三角形、正四边形、正六边形可以单独用于平移密铺。

3、三对对应边平行的六边形可以单独密铺。

4、仅发现十五类五边形能密铺。

关系

周期性密铺与非周期性密铺

周期性密铺

我们先从三角形（非退化）说起，

1.任何三角形都可以密铺整个平面。

证明：我们把2个三角形拼成一个平行四边形，然后将平行四边形上下叠放，从而密铺整个平面。

2.任何凸四边形（包括正方形，矩形）都可以密铺整个平面。

证明:

我们稍微思考一下，刚才三角形的方法只能推广到平行四边形。注意到四边形内角和为360，所以我们可以先把四个四边形对应不同的角拼在一起，使其拼满一个360度。

如图2，不同颜色的角被集中到中央，接下来就是用四边形按照同样的不同四角补成360度的方式将周围补全

3.正五边形

密铺条证明：首先，假设能够密铺平面，考虑任何一个正五边形，以下情况不会出现：

否则在如图2边与顶点交汇处的一部分，不能放入另一个正五边形铺满。

所以如果能铺满，应该是边对边，点对点，但是我们来思考一下某一个顶点，

？号处依假设还能放入若干个正五边形密铺，和2类似，应该也是围成360度角，但？处角度为

360-108-108=144度，铺一个还有余，两个就放不下，导出了矛盾。

4.正六边形

证明：显然。

5.正n边形中，只有正三角形，正方形，正6边形能密铺平面，其余正n边形不能做到。

非周期性密铺

一种密铺是“风筝与飞镖”，如图3

细节：

对晶体结构的认识其实与几何上的密铺问题是分不开的。对于单一正多边形的密铺，只能采用正三角形、正方形、正六边形这三种，涉及的对称轴也只有1,2,3,4,6重轴。但是如果采用多种不同的多边形进行密铺，那么就有可能出现5重或者7重及以上的对称轴。这一问题在1961年由华裔数学家王浩提上台面，并在1976年，由数学家彭罗斯构造出了最为经典的采用两种不同的菱形（36°/144°，72°/108°）的密铺图案：

这种密铺中没有可以平移对称的单元，但其仍然是非常和谐的密铺，而且具有五重对称轴。

但至少在70年代末，这种对于密铺的讨论仍然仅限于数学上。

直到1984年以色列化学家丹·谢赫特曼在快速冷却铝锰合金时发现了一种崭新的金属相，这一金属相的电子衍射斑表明其具有五重对称轴。这一研究成果之后发表在PRL，标题是“一种长程有序但是不具有平移对称性的金属相”。在发表之后马上引发了化学界的爆炸式研究。1985年，日本的Ishimasa课题先后在Ni-Cr合金颗粒中发现了12重轴、在V-Ni-Si和Cr-Ni-Si合金中发现了8重轴。这些新的具有长程有序的粒子排列但有不具备平移对称性的新的结晶被称为“准晶体（quasicrystal）”，丹·谢赫特曼也因为这次发现而获得了2011年诺贝尔化学奖。

学术细节：

一个n重轴n经过点O并且和纸面垂直。晶体点阵中必然存在一个经过O的直线AA' ，并且A与A' 关于O对称。设向量OA的模为a。将向量OA绕n顺时针旋转2π/n得到向量OB，将向量OA' 绕n逆时针旋转2π/n得到向量OB' 。依据n重轴的定义，BB'肯定平行于AA'。

设：BB'的模为k·a，则：k.a = 2a·Cos（2π/n），有 k = 2Cos（2π/n），其中Cos（2π/n）的绝对值小于1，所以k的绝对值小于2。根据平移对称性的定义，k必须是整数，所以k只能是-2,-1,0,1,2。

1.当k=-2时，Cos（2π/n）= -1，2π/n=180°，n=2

2.当k=-1时，Cos（2π/n）= -1/2，2π/n=120°，n=3

3.当k=-0时，Cos（2π/n）= 0，2π/n=90°，n=4

4.当k=1时，Cos（2π/n）= 1/2，2π/n=60°，n=6

5.当k=2时，Cos（2π/n）= 1，2π/n=360°，n=1

所以晶体中只存在1,2,3,4,6重轴。

可以参考： Crystallographic restriction theorem

密铺条件

四边形密铺条件：四边形的每个内角在每个拼接点处只应出现一次，且相等的边互相重合。如果在密铺时不太方便，可以采取标号法。