对偶

数学术语

对偶是大自然中广泛存在的，呈“分形”形态分布的一种结构规律，及任何系统往下和往上均可找出对偶二象的结构关系，且二象间具有完全性、互补性、对立统一性、稳定性、互涨性和互根性。

基本内容

对偶问题：每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，原问题与对偶问题对一个实际问题从不同角度提出来，并进行描述，组成一对互为对偶的线性规划问题。

对偶空间：设V为数域P上一个n 维线性空间。V上全体线性函数组成的集合记作L(V，P)。定义在L(V，P)上的加法和数量乘法：(f+g)(a)=f(a)+g(a)，(kf)(a)=kf(a)，则L(V，P)也是数域P上的线性空间。这样构造的L(V，P)就称为V的对偶空间。

对偶理论

对偶理论是研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论。在线性规划早期发展中最重要的发现是对偶问题，即每一个线性规划问题（称为原问题）有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。 1928年美籍匈牙利数学家 J.von诺伊曼在研究对策论时，发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系。

对偶问题

设线性规划问题中P问题：min f = c'x ，Ax≥b ，且c'≥0；D问题：max g = y'b， y'A≤c'，且y'≥0。问题 P和问题D互为对偶问题。其特点如下：目标函数的目标互为相反(max，min)；目标函数的系数是另一个约束条件右端的向量；约束系数矩阵是另一个的约束系数矩阵的转置；约束方程的个数与另一个的变量的个数相等；约束条件在一个问题中为“”，在另一个问题中为 “”。

基本性质

弱对偶性：CX≤Yb， X、Y分别为原始问题和对偶问题的可行解。这个定理表明极大化问题任一可行解的目标函数值总是不大于它的对偶问题的任一可行解的目标函数值。

最优性：当原问题与对偶问题均有可行解X、Y，且当 CX=Yb时，则X、Y分别是原问题与对偶问题的最优解。

无界性：如果原问题（对偶问题）有无界解，则对偶问题（原问题）无可行解。

强对偶性：若原问题有最优解，则对偶问题也一定有最优解，且目标函数值相等。

互补松弛性：变量为“0”时，其对应约束条件为“=”；约束条件为“”时，其对应对偶变量为“0”。线性规划问题的约束条件与对偶变量一一对应，即一个问题的约束条件和另一个问题的变量对应，一个问题的变量和另一个问题的约束条件对应。

经济意义

对偶变量的意义代表对一个单位第i种资源的估价，称为影子价格。影子价格不同于市场价格，b代表资源的拥有量，代表在资源最优利用条件下对单位资源的估价，但不是市场价，而是对资源在生产中做出的贡献的估价，一般称为影子价格。市场价格是已知的，而影子价格则与资源的利用情况有关，利用的好，影子价格就高，反之亦然。影子价格是一种边际价格（对偶变量在经济上表示原问题第i种资源的边际价值）。影子价格又是一种机会成本。当市场价大于影子价格，卖出资源；当市场价小于影子价格，买入资源，组织生产。影子价格说明了不同资源对总的经济效益产生的影响，因此对企业经营管理提供一些有价值的信息。

对偶原理

数学中的对偶原理

1.如果两个三角形的对应顶点的连线相会于一点，则这两个三角形的对应边的交点必定在同一直线上。

（如果两个三角形的对应边的交点在同一直线上，则这两个三角形的对应顶点的连线必定相会于一点。）

2.一个六边形的六个顶点在一条二次曲线上，当且仅当，该三对对边的交点在一条线上。

（一个六边形的六条边切一条二次曲线，当且仅当，联该三对顶点的线交于一点。）

物理中的对偶原理

在电磁学中，均匀介质中的静电场与均匀导电媒质中的恒定电场有对偶关系，电位移矢量D与电流密度矢量J，电荷q与电流I对偶。电路中，电压源与电流源、短路与开路、串联与并联、电阻与电导、电容与电感，都存在对偶关系。在使用节点电压法和回路电流法时，不改变互为对偶的元件的值，将会得到形式完全一样的对偶方程，从而得到相同的一组解。

现代控制理论中的对偶原理

在自动控制论中，有时候需要研究系统的可控性和可观测性。利用对偶原理可以对研究系统方程带来很多方便。

应用

对偶在求数列中若干项的和或积的问题上有一定的应用。如果能对其结构进行对称性的分析，将数学的对称美与题目的条件或结论相结合，就能构建一组互相关联的对偶式，从而确定解题的总体思路或入手方向。其实质是让美的启示、美的追求在解题过程中成为宏观指导力量，使问题的解决过程更加简洁明快。对称在数学上常常表现为数式或图形的对称，命题或结构的对偶或对应。在数学解题过程中，若能积极挖掘问题中隐含的对称性，巧妙地利用对称性，可使复杂的问题变得条理清楚，脉络分明，能化难为易、化繁为简。

对偶理论则广泛应用于经济分析中。例如，在经济均衡的分析中，可以通过设计优化模型，运用对偶理论和模型体系研究市场均衡及其实现均衡所需要的基本条件。

对偶原理在现代数学特别是几何学、代数学、拓扑学等学科中有着广泛的应用，对于推动数学的发展起着很好的作用。举例来讲，在范畴论中，借助于对偶变换(对偶化)，由始对象便可得终对象、由单态射得满态射、由核得上核、由积得上积；在同调代数中，由正向极限得反向极限、由内射模得投射模、由内射包得投射包、由投射分解(维数)得内射分解(维数)、由复形得上复形、由双复形得上双复形、由同调得上同调等。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省

云南省