尖锥术

尖锥术（jianzhuishu），李善兰创造了一种“尖锥术”，即用尖锥的面积来表示Xn，用求诸尖锥之和的方法来解决各种数学问题。虽然他在创造“尖锥术”的时候还没有接触微积分，但已经实际上得出了有关定积分公式。李善兰还曾把“尖锥术”用于对数函数的幂级数展开。

发展

创始

1845年前后，李善兰在嘉兴陆费家设馆授徒，得以与江浙一带的学者（主要是数学家）顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰桢（1813—1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善兰有关于“尖锥术”的著作《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。

李善兰的尖锥术，可以说是具有中国传统数学特色的解析几何和微积分。由于清政府长期奉行闭关自守政策，包括微积分学在内的西方近代科学一直未能传入中国。当时的中国数学界，除了见到零星几个由传教士带进来的三角函数无穷级数表达式和对数计算方法之外，其余则一概不知。就是这些公式和方法，也只有结论，没有推导的过程和计算的原理。

在这种情况下，李善兰异军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，在中国传统数学中垛积术和无穷小极限方法的基础上，发明尖锥术，不仅创立了二次平方根的幂级数展开式，各种锐角三角函数、反三角函数和对数函数的幂级数展开式，而且还具备了解析几何思想和一些重要定积分公式的雏形。

尖锥对数论

特别值得一提的是李善兰的对数论，它建立在尖锥术的基础上，独具特色，受到了中外学者的一致赞誉。伟烈亚力（A.Wylie，1815—1887）说：“李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，达到了如同圣文森特的J.格雷戈里（Gregory，1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。”。“倘若李善兰生于J.纳皮尔（Napier，1550—1617）、H.布里格斯（Briggs，1556—1631）之时，则只此一端即可名闻于世。”顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法简捷、高明，认为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰“中土李（善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，大声疾呼“以告中土之受欺而不悟者”。

尖锥几何

在李善兰尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可以生根长叶、开花结果的。从这个意义上说，中国数学也可能以自己特殊的方式走上近代数学的道路。只是几年以后，到了1852年，李善兰便接触到了大量从西方传进来的近代数学，并参与了把解析几何和微积分介绍进中国的翻译工作。从此，中国传统数学逐渐汇入世界数学的发展洪流之中。

命题内容

尖锥术的基本理论概括在他的《方圆阐幽》里的10个命题之中。命题1～4，有李善兰的线面体循环之理；命题5～8，李善兰创立的尖锥图形，实际上是一种处理代数问题的几何模型，其间有解析几何思想的萌芽，尖锥求积术的算法相当于幂级数定积分公式；命题9、10，李善兰用平面积来表示相当于定积分值的尖锥积，并由面积相加原理得到逐项积分公式的结果。进而，李善兰把尖锥术理论用于求圆周率的无穷级数表达式，各种三角数和反三角函数的幂级数展开式以及对数的幂级数展开式。已出现了中国特色微积分思想的雏形。

意义

李善兰所创立的尖锥概念，是一种处理代数问题的几何模型。它由互相垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线所组成，并且在考虑尖锥合积的问题时，也是使诸尖锥有共同方向上的底和高，这样的底和高具有平面直角坐标系中纵、横两个坐标的作用。

这种尖锥是由乘方数渐增渐迭而得，尖锥曲线是由随同乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。由于李善兰把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，实际上他给出了直线（长方、平尖锥）、抛物线（立尖锥）、立方抛物线（二乘尖锥）……的方程。他的对数合尖锥还相当于给出了等轴双曲线的方程。

李善兰的尖锥求积术，实质上就是幂函数的定积分公式和逐项积分的运算法则。同时，李善兰用这种积分的方法，配合还原（级数回求）、商除等代数运算方法，卓有成效地展开了许多超越函数的研究，这也是属于微积分学早期阶段的工作。

名家评价

清初有两位天算大师王锡阐（字寅旭，号晓庵，1628—1682）、梅文鼎（字定九，号勿庵，1633—1721），当时号称“二庵”。蒋学坚说：“李先生算学为中外所共仰，国初王晓庵、梅勿庵二先生后，当首屈一指。”又有诗称李善兰“步算中西独绝伦”、“王梅而后此传人”、“二庵之后更推谁，小李将军算法奇”。

著作

① A.Wylie，Chinese Researches，Shanghai，1897。

②顾观光：《算賸余稿》卷下，《武陵山人遗书》，1883年。

③蒋学坚：《李壬叔先生〈则古昔斋遗诗〉跋》，《怀亭文录》。

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