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局部域

数论术语

在数学上，局部域是一类特别的域，它有非平凡的绝对值，此绝对值赋予的拓扑是局部紧的。局部域可粗分为两类：一种的绝对值满足阿基米德性质（称作阿基米德局部域），另一种的绝对值不满足阿基米德性质（称作非阿基米德局部域）。在数论中，数域的完备化给出局部域的典型例子。

定义
设F为非阿基米德局部域，而为其绝对值。关键在下述对象：
闭单位球：，或其整数环，这是个紧集。
整数环里的单位元：
开单位球：，这同时是其整数环里唯一的极大理想，也记作。
上述对象与赋值环的构造相呼应；事实上，可证明必存在实数及离散赋值，使得
可取唯一的c使得v为满射，称之为正规化赋值。
从此引出非阿基米德局部域的另一个等价定义：一个域 F，带离散赋值，使得F成为完备的拓扑域，而且剩余域有限。
这类局部域的行为可由局部类域论描述。
分类
局部域的完整分类如次：
。这些是阿基米德局部域。
p进数域的有限扩张。这些是特征为零的非阿基米德局部域。
的有限扩张（其中表有q个元素的有限域）。这些是特征非零的非阿基米德局部域。
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