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局部紧空间

一般拓扑学术语

局部紧空间(locally compact space)是一类拓扑空间。设X是拓扑空间，若X的每一点都有一个紧邻域，则称X为局部紧空间。紧空间是局部紧空间，反之不然。欧几里得空间R不是紧空间，但是，R是局部紧空间。离散空间是局部紧空间。局部紧的T2空间是完全正则空间。局部紧性是闭遗传的。局部紧空间的连续像未必是局部紧的。有限个局部紧空间的积仍为局部紧空间。

定义
若拓扑空间X的每一点都有一个紧邻域，则称X为局部紧空间。
性质
紧空间是局部紧空间，反之不然。
兼为第二可数空间与局部紧豪斯多夫空间的空间为仿紧空间。
拓扑流形为局部紧空间。
离散空间是局部紧空间。
兼为局部紧空间与T2空间是完全正则空间。
局部紧性是闭遗传的。
局部紧空间的连续像未必是局部紧的。
有限个局部紧空间的积仍为局部紧空间。
任何局部紧空间X都能嵌入紧空间Y，Y只比X多一个点，且X作为Y子空间而获得的子空间拓扑与原来的拓扑一致，此时Y称为X的一点紧化。若X为局部紧豪斯多夫空间，则X的一点紧化为紧豪斯多夫空间。
例子
欧几里得空间Rn是局部紧空间。
相关概念
定义1：空间X称为i-型局部紧空间(i=1,2,3),是指它满足下面的条件：
1)X中每一点都有一个紧邻域;
2)X中每一点都有一个紧邻域基;
3)X中每一点x的任意一个邻域U包含一个开邻域V,使得V U,且V是紧的.
定义2：空间X称为i-型局部强仿紧空间(i=1,2,3),是指它满足下面的条件:
1)X中每一点都有一个强仿紧邻域;
2)X中每一点都有一个强仿紧邻域基;
3)X中每一点x的任意一个邻域U包含一个开邻域V,使得V U,且V是强仿紧的.
定义3：在空间X中,Y是X的子集。若Y作为X的子空间是强仿紧空间，则称Y是X的强仿紧子集。显然强仿紧空间必是1-型局部强仿紧空间，因为强仿紧空间本身是它的任何一点的强仿紧邻域。由定义2可知，三者之间的关系：3-型局部强仿紧空间是2-型局部强仿紧空间，2-型局部强仿紧空间是1-型局部强仿紧空间。
局部紧性质
定义1：拓扑空间 X称为局部可数紧空间，是指X中任意点都有一个可数紧邻域，即每一点x∈ X，都存在一个邻域使其每一可数开覆盖都有有限子覆盖，显然可数紧空间是局部可数紧的。
定义2：拓扑空间X称为邻域局部紧空间，是指X中每一点x∈ X的任意邻域U∈ u，都有一个紧邻域V，使得XU。
下面结果都是显然的。
定理1：邻域局部紧空间是局部紧空间，是可数局部紧空间。
定理2： 3-型局部紧空间是2-型局部紧空间，2-型局部紧空间是局部紧空间。
这是因为对任意 x∈ X, U∈ u都有开邻域V，使得VVUx，且V是紧的，且显然V是点x的邻域，并且其全体是点x的紧邻域基。
明显地有：
定理3：拓扑空间X是邻域局部紧的当且仅当x是2-型局部紧的。
定理4：局部紧的正则空间X是2-型局部紧空间，是3-型局部紧空间。
推论1：局部紧的豪斯多夫空间都是2-型局部紧空间，都是3-型局部紧空间。
推论2：局部紧的完全正则空间都是2-型局部紧空间，都是3-型局部紧空间。
定理5：任一紧覆盖族都是局部有限的半紧空间X都是局部紧空间。
定理6：任一紧覆盖族都是局部有限的σ紧空间X都是局部紧空间。
定理7：半紧空间是σ紧空间。
定理8：设X和Y为拓扑空间，f∶X→Y是连续开满映射，X是邻域局部紧的，则Y是邻域局部紧的。
定理9：设X,Y为拓扑空间，X是局部可数紧的，f∶X→Y是连续开满映射，那么Y是局部可数紧的。
定理10：在拓扑空间X中，有：
(1)局部可数紧空间是局部列紧空间。
(2)局部列紧的T1空间是局部可数紧的。
(3)局部序列紧的是局部可数紧的。
(4)局部可数紧的A1空间是局部序列紧的。
从而，有X是局部可数紧的当且仅当X是局部列紧的当且仅当X是局部序列紧的。
拓扑空间
设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：
1．X和空集{}都属于T；
2．T中任意多个成员的并集仍在T中；
3．T中有限多个成员的交集仍在T中。
称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,T）。
称T中的成员为这个拓扑空间的开集。
定义中的三个条件称为拓扑公理。（条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中。）
从定义上看，给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这些规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。
一般说来，一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑。在不引起误解的情况下，也常用集合来代指一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等。
同时，在拓扑范畴中，我们讨论连续映射。定义为：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定义的拓扑）是连续的当且仅当开集的原像是开集。两个拓扑空间同胚当且仅当存在一一对应的互逆的连续映射。同时，映射同伦和空间同伦等价也是很有用的定义。
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