广义坐标

数学术语

广义坐标是用来描述系统位形所需要的独立参数，或者最少参数。当分析有的问题时（尤其是当有许多约束条件的时候），尽量选择独立的广义坐标。因为这样可以减少代表约束的变量。但是，当遇到非完整约束时，或者当计算约束力时，就必须使用关于这约束力的，相应的广义坐标。

由来及意义

广义坐标的概念由Lagrange(拉格朗日)提出，在拉格朗日之前人们已经用它解决过一些问题。

例如：Eular（欧拉）描述刚体运动的三独立变量——欧拉角

广义坐标的提出虽然只是描述方法上的改进，但是对力学发展产生了深远影响。

广义坐标不仅摆脱了卡氏坐标下的多体系统研究中约束所造成的巨大困难，并用最少的参数描述系统位形。同时，由于坐标的相互独立性，研究系统运动也有利得多。

独立广义坐标

当分析有的问题时（尤其是当有许多约束条件的时候），尽量选择独立的广义坐标。因为，这样可以减少代表约束的变数。但是，当遇到非完整约束时，或者当计算约束力时，就必须使用关于这约束力的，相依的广义坐标。

在三维空间里，假设一个物理系统拥有颗粒子；那么，这系统的自由度是。再假设这系统有个完整约束；那么，这系统的自由度变为。必须用个独立广义坐标与时间来完全描述这系统的运动。坐标的转换方程可以表示如下：

虽然我们可能会遇到复杂的系统时，这转换方程具有足够的灵活性来选择最合适的坐标。在思考虚位移与广义力时，这转换方程也可以用来建造微分。

理论说明

对于含有n个质点的质点系，在空间有3n个坐标。若这些质点间存在k个有限约束，则约束方程可写为：fs(x1,x2,…,x3n;t)=0（s=1,2,…,k）。利用约束方程消去3n个坐标中的k个变量，剩下N=3n－k个变量是独立的。利用变量转换，可将这N个变量用其他任何N个独立变量q1,q2…,qN来表示。因此，n个x坐标可用N个q表示为xi=xi(q1,q2…,qN;t)（i=1,2…,3n）。这种相互独立的变量称为广义坐标，其数目N等于完整系统的自由度。

常用的广义坐标有线量和角量两种。例如，对约束在空间固定曲线上运动的质点，可用自始点计量的路程s作广义坐标；用细杆约束在竖直平面内摆动的质点，可用杆与铅垂线的夹角θ作广义坐标。广义坐标对时间的导数称广义速度。同样，因为问题需要也会有广义加速度、广义动量、广义角动量等。

例子

例如以长为l的细绳，悬挂一质点A于固定点O，使它在Oxy平面内运动(见图)。质点坐标为(x,y)，即n=2，它与一个约束方程x2+y2=l2相联系，故N=n－1=1，只有一个广义坐标。按问题的性质，选用绳与铅垂线的夹角θ为广义坐标。这样，便有：

x=lsinθ，y=－lcosθ。

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