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广义狄利克雷问题

经典狄利克雷问题通过适当放松边界值要求进行的推广

广义狄利克雷问题(generalized Dirichlet problem)是经典狄利克雷问题通过适当放松边界值要求进行的推广。而经典狄利克雷问题也叫做第一边值问题，是经典位势论中三大基本问题之一。即已知Rn（n≥2）内的区域D（其边界∂D为紧）及在∂D上连续的实函数 f，求以 f 为边界值的D内调和函数u。

广义狄利克雷问题的提出
为了要完全确定拉普拉斯方程一个的解，需要一些附加的条件，称之为边界条件的形状，即所求解在区域的边界上应当满足的一些给定关系式的形状。而第一边值问题，或者狄利克雷问题，归结为在区域的边界的每一点上给定所求的调和函数的值：
求出一个函数u（z），满足在区域D内调和并且在D-内连续，在D的边界上取已经给定的连续值u（ζ）.在实际应用中，边界值u（ζ）连续的这个条件过于严格，因此考虑广义狄利克雷问题，此时函数u（ζ）在区域D的边界C上除了有限多个第一类间断点外，是处处连续的。
内容
广义狄利克雷问题(generalized Dirichlet problem)是经典狄利克雷问题通过适当放松边界值要求进行的推广。该问题是：已知Rn(n≥2)的区域D(∂D为紧)及从∂D到[-∞，+∞]的函数 f，求D内调和的函数u，使对每个正则边界点y，有
且当D无界时，u在∞为正则(若不要求内外部问题互相转化，可只要求u在∞有有限极限)。更一般地，可考虑D为一般开集的情形。
问题解法
由佩龙(Perron，O.)于1923年提出，经布雷洛(Brélot,M. E.)改进的下述方法被公认是解这个问题的最有效工具。下面以Rn(n≥3)为例叙述，对R2的内部问题也适用。若边值函数为f，当D无界时，令 并补充定义f(∞)=0；当D有界时，令 。D内一个超调和函数 v 称为(f的)上函数，指的是当D内x趋于任一 时，恒有 ，令 （其中v为上函数）；又记 ，那么 ； 与 分别称为关于 f 的下解与上解。当 与 相等且只取有限值时，广义狄利克雷问题有解，即 f 是可解的。f 可解的充分必要条件是对每个x∈D，f 关于调和测度 可积分，这时
就是所要求的惟一解，称为PWB解或PB解，以纪念佩龙、维纳（Wiener，N.）及布雷洛的工作。特别地，当 f 有限连续时必可解，看作泛函的对应测度， 由这样的 f 全体所确定并可由此给予定义。y∈∂D为正则边界点的充分必要条件是，对每个连续（有限）的 f，有
上述方法在格林空间、马丁空间及更一般空间（参见“公理化位势论”）也适用。另外，在一定条件下，也可类似地考虑关于α调和函数的广义狄利克雷问题。
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