戴克斯特拉算法

数学术语

戴克斯特拉算法（英语：Dijkstra's algorithm）由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉在1956年提出。迪科斯特拉算法使用了广度优先搜索解决赋权有向图的单源最短路径问题。该算法存在很多变体；戴克斯特拉的原始版本找到两个顶点之间的最短路径，但是更常见的变体固定了一个顶点作为源节点然后找到该顶点到图中所有其它节点的最短路径，产生一个最短路径树。该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示城市间开车行经的距离，该算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

简介

戴克斯特拉算法（英语：Dijkstra'salgorithm）由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉在1956年提出。迪科斯特拉算法使用了广度优先搜索解决赋权有向图的单源最短路径问题。该算法存在很多变体；戴克斯特拉的原始版本找到两个顶点之间的最短路径，但是更常见的变体固定了一个顶点作为源节点然后找到该顶点到图中所有其它节点的最短路径，产生一个最短路径树。该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示城市间开车行经的距离，该算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

该算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。我们以V表示G中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。我们以E表示G中所有边的集合，而边的权重则由权重函数w:E→[0,∞]定义。因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负权重（weight）。边的权重可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的权重，就是该路径上所有边的权重总和。已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低权重路径(例如，最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。

最初的戴克斯特拉算法不采用最小优先级队列，时间复杂度是(其中为图的顶点个数)。通过斐波那契堆实现的迪科斯彻算法时间复杂度是(其中是边数)（Fredman&Tarjan1984）。对于不含负权的有向图，这是已知的最快的单源最短路径算法。

算法描述

这个算法是通过为每个顶点v保留为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，原点s的路径权重被赋为0（d[s]=0）。若对于顶点s存在能直接到达的边（s,m），则把d[m]设为w（s,m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于所有顶点的集合V中的任意顶点v，若v不为s和上述m之一，d[v]=∞）。当算法结束时，d[v]中存储的便是从s到v的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。

边的拓展是Dijkstra算法的基础操作：如果存在一条从u到v的边，那么从s到v的最短路径可以通过将边（u,v）添加到尾部来拓展一条从s到v的路径。这条路径的长度是d[u]+w(u,v)。如果这个值比已知的d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。拓展边的操作一直运行到所有的d[v]都代表从s到v的最短路径的长度值。此算法的组织令d[u]达到其最终值时，每条边（u,v）都只被拓展一次。

算法维护两个顶点集合S和Q。集合S保留所有已知最小d[v]值的顶点v，而集合Q则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d[u]值的顶点。当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对u的每条外接边(u,v)进行拓展。

下面的伪代码计算并保留图G中原点s到每一顶点v的最短距离d[v]，同时找出并保留v在此最短路径上的“前趋”，即沿此路径由s前往v，到达v之前所到达的顶点。其中，函数Extract_Min(Q)将顶点集合Q中有最小d[u]值的顶点u从Q中删除并返回u。

如果我们只对在s和t之间查找一条最短路径的话，我们可以在第9行添加条件如果满足u=t的话终止程序。

通过推导可知，为了记录最佳路径的轨迹，我们只需记录该路径上每个点的前趋，即可通过迭代来回溯出s到t的最短路径（当然，使用后继节点来存储亦可。但那需要修改代码）：

现在序列S就是从s到t的最短路径的顶点集。

时间复杂度

我们可以用大O符号将该算法的运行时间表示为边数m和顶点数n的函数。

对于基于顶点集Q的实现，算法的运行时间是，其中和分别表示完成键的降序排列时间和从Q中提取最小键值的时间。

Dijkstra算法最简单的实现方法是用一个链表或者数组来存储所有顶点的集合Q，所以搜索Q中最小元素的运算（Extract-Min(Q)）只需要线性搜索Q中的所有元素。这样的话算法的运行时间是。

对于边数少于的稀疏图来说，我们可以用邻接表来更有效的实现该算法。同时需要将一个二叉堆或者斐波纳契堆用作优先队列来查找最小的顶点（Extract-Min）。当用到二叉堆的时候，算法所需的时间为，斐波纳契堆能稍微提高一些性能，让算法运行时间达到。然而，使用斐波纳契堆进行编程，常常会由于算法常数过大而导致速度没有显著提高。