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负指数分布

指数分布

负指数分布又称指数分布。泊松事件流的等待时间（相继两次出现之间的间隔）服从指数分布。用于描述非老化性元件的寿命（元件不老化，仅由于突然故障而毁坏）。常假定排队系统中服务器的服务时间和Petri网中变迁的实施速率符合指数分布。

简介
在概率理论和统计学中，负指数分布（也称为指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。
指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当时有。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。
指数分布描述
概率密度函数
一个指数分布的概率密度函数是：
其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X~ Exponential（λ）。
累积分布函数
累积分布函数可以写成：
记号
若随机变量服从参数为的指数分布，则记为
特性
均值和方差
随机变量X(X的率参数是λ) 的期望值是：
比方说：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。
X的方差是：
X的偏离系数是：V[X] = 1
无记忆性
指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：
与泊松过程的关系
泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于
长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于 所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。
四分位数
率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是：
第一四分位数：
中位数：
第三四分位数：
参数估计
最大似然法
给定独立同分布样本x= (x1, ...,xn)，λ的似然函数（Likelihood function）是：
其中：是样本均值。
似然函数对数的导数是：
概率参数的最大似然（Maximum likelihood）估计值是：
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