施坦贝格群

代数学分支

代数K理论20世纪60年代发展起来的一个代数学分支。它的起源可追溯到1958年格罗腾迪克(Grothendieck，A.)关于广义黎曼-罗赫定理的研究。这个学科的第一本专著是1968年由巴斯(Bass，H.)完成的。

定义

设R为幺环，当n≥3时，Stn(R)为由{xij(r)|1≤i≠j≤n,r∈R}按下述关系定义的乘法群：

定义St(R)为Stn(R)的归纳极限，称St(R)为R的施坦贝格群。

性质

St为从幺环范畴到群范畴的函子。

St(R)为初等矩阵群E(R)的中心扩张。

St(R)的中心为米尔诺群K2(R)=St(R)/E(R)。

概念

施坦贝格群ST(R)(Steinberg group ST(R))是代数K理论中的一个重要的群。由初等矩阵的部分运算规律定义的一种群，由施坦贝格群可定义K2群。斯坦贝格群与K2群有密切关系，同时本身也有一定的重要性。

群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G；

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c)；

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

环

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

代数K理论

代数K理论主要研究环范畴到阿贝尔群范畴的一系列函子K0，K1，K2，…的性质与作用，其中最基本的是K0与K1。代数K理论与几何拓扑、拓扑K理论、代数几何、典型群、代数数论等学科都有着密切的联系。在一定的意义上来说，它又是线性代数中空间的维数、行列式以及同调代数的更高层次的发展。

代数K理论主要介绍K0，K1，K2函子及相关的内容。对Ki，i≥3，现在已有多种定义，其中最著名的是奎伦(Quillen，D.G.)于1970年定义的Ki。更进一步地，对i为任意整数，研究函子Ki。这些内容可查阅有关文献。下面，凡提到模(即环模)均指左环模。塞尔(Serre，J.P.)于1955年证明：一个仿射簇上的向量丛范畴与这个仿射簇之坐标环上的有限生成投射模范畴等价。斯万(Swan，R.G.)于1962年又将此结果推广到紧致的豪斯多夫(Hausdorff，F.)空间，从而给出了拓扑K理论与代数K理论的一个紧密的联系，大大推动了代数K理论的发展。

代数K理论在几何学领域有两个不同的起源。第一个是与拓扑学中的困难问题相关的。起点是引进怀特海挠率，这项工作始于20世纪40年代。另一个起源与拓扑K理论一样，也是开始于格罗唐迪克在1957年给出的广义黎曼—罗赫定理的证明。美国数学家巴斯1964年研究格罗唐迪克引用的K群的构造，由此开创了代数K理论的研究。其著作《代数K理论》(1968)的问世标志着代数学的这个新分支的诞生。巴斯引进了K1，并与他人合作广泛地研究K0和K1。K2是米尔诺引进的，而高阶K理论是由奎伦和其他人从各种不同观点构造的。奎伦首先解决了代数K理论中的亚当斯猜想(1970)，之后又得到K理论中塞尔猜想的证明(1976)，并开始将代数归结为拓扑，形成代数K理论的基础。代数K理论产生之后，立即应用于环论、同调代数、范畴论与线性群的理论。

推广——K2群

K2群(K2-group)代数K理论中的一类重要的群。它是施坦贝格群的中心。设R为环，由φ(Xij(a))=eij定义群的满同态φ：ST(R)→E(R)，其中eij表(i，j)位置a的初等矩阵，称此同态的核ker φ为R的K2群，记为K2(R)。它是刻画形式上由初等矩阵的部分运算规律定义的ST(R)与初等矩阵群的差距的一个群。这个群是由米尔诺(Milnor，W.J.)定义的.ST(R)的中心C(ST(R))正是K2(R)，因此，K2(R)是一个阿贝尔群。从群论的观点看，上述的同态φ为E(R)的泛中心扩张，从而K2(R)为E(R)的泛中心扩张的核，并且K2(R)是E(R)关于Z的第二个同调群。

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