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勒贝格测度

赋予欧几里得空间的子集长度、面积的方法

勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，R的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

定义
设P为实线上所有有界半封闭区间[a,b)类。S为P生成的σ环，其元为实线的博雷尔集。μ为P上集函数，定义为μ([A,b))=b-a，可扩张为S上集函数。若上的为S上的μ的完备化，则的元称为勒贝格可测集，称为勒贝格测度。
性质
上的勒贝格测度有如下的性质：
1. 如果A是区间 的笛卡尔积，那么A是勒贝格可测的，并且 其中 表示区间I的长度。
2. 如果A是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A也是勒贝格可测的，并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。
3. 如果A勒贝格可测的，那么它的补集（相对于R）也是可测的。
4. 对于每个勒贝格可测集A，λ(A) ≥ 0 。
5. 如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。)
6. 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。
7. 如果A是一个开集或闭集，且是R(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么A是勒贝格可测的。
8. 如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A) = 0 (零测集)，则A的任何一个子集也是零测集。
9. 如果A是勒贝格可测的，x是R中的一个元素，A关于x的平移（定义为 ）也是勒贝格可测的，并且测度等于A.
10. 如果A是勒贝格可测的， ，则 关于 的扩张（定义为 ）也是勒贝格可测的，其测度为 。
11. 更广泛地说，设T是一个线性变换，A是一个R的勒贝格可测子集，则T(A)也是勒贝格可测的，其测度为 。
12. 如果A是R的勒贝格可测子集，f是一个A到R上的连续单射函数，则f(A)也是勒贝格可测的。
简要地说， 的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数，且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 的测度。
勒贝格测度是σ-有限测度。
历史
勒贝格在1901年描述勒他的测度，随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。
例子
1.如果A是一个区间 ， 那么其勒贝格测度是区间长度 。开区间 的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。
2. 如果A是区间 和 的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 。
3.康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
零测集
的子集是零测集，如果对于每一个ε > 0，它都可以用可数个n个区间的乘积来覆盖，其总体积最多为ε。所有可数集都是零测集。
如果 的子集的豪斯多夫维数小于n，那么它就是关于n维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于 上的欧几里得度量（或任何与其等价的利普希茨度量）。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于n，但具有正的n维勒贝格测度。一个例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。
为了证明某个给定的集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A只相差一个零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。
勒贝格测度的结构
勒贝格测度的现代结构，基于外测度，是卡拉特奥多里发明的。
固定 ， 中的盒子是形如 的集合，其中 。这个盒子的体积 定义为
对于任何 的子集A，我们可以定义它的外测度 ：
是可数个盒子的集合，它的并集覆盖了 。然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合 ，都有：
这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。勒贝格测度定义为λ(A) = λ(A)对于任何勒贝格可测的集合A。
根据维塔利定理，存在实数 的一个勒贝格不可测的子集。如果A是的任何测度为正数的子集，那么A便有勒贝格不可测的子集。
与其他测度的关系
在所定义的集合上，博雷尔测度与勒贝格测度是一致的；然而，仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。
哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的是一个局部紧群）。
豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量的维数比n低的子集是很有用的，例如内的曲线或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的概念混淆。
可以证明，在无穷维空间不存在勒贝格测度的类似物。
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