理论力学

基本定义

理论力学（theoretical mechanics）是研究物体机械运动的基本规律的学科。力学的一个分支。它是一般力学各分支学科的基础。理论力学通常分为三个部分：静力学、运动学与动力学。静力学研究作用于物体上的力系的简化理论及力系平衡条件；运动学只从几何角度研究物体机械运动特性而不涉及物体的受力；动力学则研究物体机械运动与受力的关系。动力学是理论力学的核心内容。理论力学的研究方法是从一些由经验或实验归纳出的反映客观规律的基本公理或定律出发，经过数学演绎得出物体机械运动在一般情况下的规律及具体问题中的特征。理论力学中的物体主要指质点、刚体及刚体系，当物体的变形不能忽略时，则成为变形体力学（如材料力学、弹性力学等）的讨论对象。静力学与动力学是工程力学的主要部分。

总述

理论力学是大部分工程技术科学的基础，也称经典力学。其理论基础是牛顿运动定律。20世纪初建立起来的量子力学和相对论，表明牛顿力学所表述的是相对论力学在物体速度远小于光速时的极限情况，也是量子力学在量子数为无限大时的极限情况。对于速度远小于光速的宏观物体的运动，包括超音速喷气飞机及宇宙飞行器的运动，都可以用经典力学进行分析。

理论力学从变分法出发，最早由拉格朗日《分析力学》作为开端，引出拉格朗日力学体系、哈密顿力学体系、哈密顿-雅克比理论等，是理论物理学的基础学科。哈密顿方法是量子力学中的正则量子化的起点，拉格朗日方法是量子力学中路径积分量子化的起点。

发展简史

力学是最古老的科学之一，它是社会生产和科学实践长期发展的产物。随着古代建筑技术的发展，简单机械的应用，静力学逐渐发展完善。公元前5—前 4世纪，在中国的《墨经》中已有关于水力学的叙述。古希腊的数学家阿基米德（公元前 3世纪）提出了杠杆平衡公式（限于平行力）及重心公式，奠定了静力学基础。荷兰学者S.斯蒂文（16世纪）解决了非平行力情况下的杠杆问题，发现了力的平行四边形法则。他还提出了著名的“黄金定则”，是虚位移原理的萌芽。这一原理的现代提法是瑞士学者约翰·伯努利于1717年提出的。

动力学的科学基础以及整个力学的奠定时期在17世纪。意大利物理学家伽利略创立了惯性定律，首次提出了加速度的概念。他应用了运动的合成原理，与静力学中力的平行四边形法则相对应，并把力学建立在科学实验的基础上。英国物理学家牛顿推广了力的概念，引入质量的概念，总结出机械运动的三定律（1687年），奠定了经典力学的基础。他发现的万有引力定律，是天体力学的基础。以牛顿和德国人G.莱布尼兹所发明的微积分为工具，瑞士数学家L.欧拉系统地研究了质点动力学问题，并奠定了刚体力学的基础。

理论力学发展的重要阶段是建立了解非自由质点系力学问题的较有效方法。虚位移原理表示质点系平衡的普遍条件。法国数学家 J.达朗贝尔提出的、后来以他本人名字命名的原理，与虚位移原理结合起来，可以得出质点系动力学问题的分析解法，产生了分析力学。这一工作是由法国数学家J.拉格朗日于 1788年完成的，他推出的运动方程，称为拉格朗日方程，在某些类型的问题中比牛顿方程更便于应用。后来爱尔兰数学家W.哈密顿于19世纪也推出了类似形式的方程。拉格朗日方程和哈密顿方程在动力学的理论性研究中具有重要价值。

与动力学平行发展，运动学在19世纪也发展了。到19世纪后半叶，运动学已成为理论力学的一个独立部分。

20世纪以来，随着科学技术的发展，逐渐形成了一系列理论力学的新分支；并与其他学科结合，产生了一些边缘学科，如地质力学、生物力学、爆炸力学、物理力学等。力学模型也越来越多样化。在计算工作中，已广泛采用了电子计算机，解决了过去难以解决的一些力学问题。

涵盖内容

理论力学所研究的对象（即所采用的力学模型）为质点或质点系时，称为质点力学或质点系力学；如为刚体时，称为刚体力学。因所研究问题的不同，理论力学又可分为静力学、运动学和动力学三部分。静力学研究物体在力作用下处于平衡的规律。运动学研究物体运动的几何性质。动力学研究物体在力作用下的运动规律。

理论力学的重要分支有振动理论、运动稳定性理论、陀螺仪理论、变质量体力学、刚体系统动力学、自动控制理论等。这些内容，有时总称为一般力学。

理论力学与许多技术学科直接有关，如水力学、材料力学、结构力学、机器与机构理论、外弹道学、飞行力学等，是这些学科的基础。

基本概念和方法

运动学中关于运动的量度，对于点有速度与加速度，对于刚体有移动的速度与加速度，转动的角速度与角加速度。

物体间的相互机械作用的基本量度是力，理论力学中还广泛用到力对点之矩和力对轴之矩的概念。

物体运动的改变除与作用力有关外，还与本身的惯性有关。对于质点，惯性的量度是其质量。对于刚体，除其总质量外，惯性还与质量在体内的分布状况有关，即与质心位置及惯性矩、惯性积有关。刚体对于三个互相垂直的坐标轴的各惯性矩及惯性积组成刚体对该坐标系的惯性张量。

动力学中关于运动的量度有动量、动量矩和动能，与此有关的力的作用的量度有冲量、冲量矩和功。表明这两种量度间的关系的定理，有动量定理、动量矩定理以及动能定理，称为动力学普遍定理。

理论力学的基础是牛顿三定律：第一定律即惯性定律；第二定律给出了质点动力学基本方程；第三定律即作用与反作用定律，在研究质点系力学问题时具有重要作用。第一、第二定律对于惯性参考系成立。在一般问题中，与地球固结的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系，可近似地看作惯性参考系。

研究非自由质点系的平衡和运动的较有效方法是力学的变分原理，其中有虚位移原理、达朗贝尔原理、哈密顿原理等。在解题时广泛应用了由此推出的运动微分方程，其中有拉格朗日方程、哈密顿正则方程、哈密顿-雅可比方程等。

静力学

静力学（statics）是研究作用于物体上力系的平衡条件的力学分支学科。力系指作用在物体上的一群力。平衡指物体相对惯性参考系保持静止或作等速直线运动。在静力学中，将与地球固结的参考系取作惯性参考系可满足一般工程所需的精度要求。静力学研究的主要问题有三个。①物体的受力分析，即分析物体共受几个力以及各力的作用点及方向。②力系的简化，即用一个简单的力系等效地替换一个复杂的力系。③力系的平衡条件，即力系与零力系等效的条件，此平衡条件用方程的形式表示时，称为力系的平衡方程。如汇交力系的平衡条件是各力的合力为零，平衡方程则为各力在坐标轴上投影的代数和为零，即

∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Fz=0

矢量力学中主要研究作用于刚体上的力系平衡，故这一部分又称为刚体静力学，又因处理的是力、力矩等矢量的几何关系，故又称几何静力学。分析力学则研究任意质点系的平衡，给出作用于任意质点系上的力系平衡的充要条件，即虚功原理，又称分析静力学。静力学的研究方法是从几条基本公理或原理出发，经过数学演绎推导出各种结论。

刚体是实际物体的简化与抽象，工程中构件的变形影响可以忽略时，可应用刚体静力学的理论。如设计桥梁桁架中各杆件的截面面积时，首先在规定载荷下用刚体静力学的平衡方程求出支座的约束力及各杆的内力，然后才能进行强度、刚度分析与设计，对变形体（弹性体、塑性体、流体等）的平衡问题，除了考虑力和力矩的平衡条件，还要结合介质的变形特性。用分析静力学研究变形体平衡时形成的能量法，在解决工程技术问题时也获得了广泛的应用。

静力学的理论在动力学中也有重要应用。分析静力学中的虚功原理与达朗贝尔原理相结合给出动力学普遍方程，它是推导非自由质点系各种运动微分方程的基础。

动力学

动力学（dynamics）是研究物体机械运动与受力之间的关系的学科，力学的分支。自然界与工程中存在大量的动力学问题。研究动力学问题时，应首先进行分析、简化，抽象成物理模型，再建立动力学方程，即物理模型的受力与运动之间的关系。这个过程称为动力学建模，简称建模。对有限多自由度的离散系统，得到的是常微分方程；对无限多自由度的连续系统，得到的是偏微分方程。动力学问题通常有两种提法：①已知系统的运动规律，求作用于系统的力。②已知系统的受力，求系统的运动规律。有时也有两者的混合提法。运动微分方程有时有解析解，但多数情况下它们是非线性的，只能求数值解。

牛顿是动力学的奠基者，他于1687年提出了运动的三大定律（见牛顿运动定律），其中第二定律建立了动力学方程，由此可推导出动力学的三大定理：动量定理、动量矩定理与动能定理，它们都是用来建模及进行运动特性分析的有力工具。牛顿的工作及后来L.欧拉关于刚体动力学的研究，构成了经典力学的牛顿-欧拉体系，也是矢量力学的主要内容。

动力学基本规律的另一种叙述方法称为达朗贝尔原理，它可看成牛顿第二定律的演变。依据达朗贝尔原理建立起来的动静法是解决工程问题的一种实用方法。

牛顿运动定律发表100年后，J.拉格朗日建立了受完整约束的非自由质点系的动力学方程，称为拉格朗日方程。拉格朗日及后来W.哈密顿等人的工作构成了分析力学的主要内容。如果说矢量力学以力作为核心概念，则分析力学将核心概念由力转移到能量。在经典力学范围内，以力为核心概念与以能量为核心概念是等价的；但在物理的其他领域，力与加速度的概念可能显得没有意义，而能量的概念却无处不在。因此，分析力学成为由经典力学过渡到现代物理的桥梁。

根据研究对象的不同，动力学通常包括质点动力学、质点系动力学、刚体动力学及动力学专门问题几个部分。

运动学

运动学（kinematics）是研究物体机械运动的几何性质而不涉及运动的原因——物体的受力的力学分支。运动学的首要任务是描述物体相对所选参考系的运动，重点研究物体的轨迹、位移、速度、加速度等运动特性。运动学中只研究位置变化，不需要考虑质量。描述物体运动的一般方法是首先建立描述运动的运动方程，然后通过数学上对时间求导数获得速度、加速度与运动特性。运动学与静力学和动力学一起构成了力学的基础，但运动学本身也有独立存在的价值，如在机械设计中广泛使用运动学知识分析或设计机构的运动。

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