等距同构

数学概念

等距同构是一个数学概念，指在度量空间之间保持距离关系的同构。几何学中的对应概念是全等变换。

定义

令(N，ρ)、(N1，ρ1)表示两个度量空间，如果存在一个映射φ：N→N1满足如下条件：

1)φ为满射；

2)ρ(x，y)=ρ1(φ(x)，φ(y))(∀x，y∈N)，

则认为空间(N，ρ)和空间(N1，ρ1)是等距同构的。

在希腊语中，isos的意思是相等;metron的意思是度量．因此isometry(等距同构)的字面意思就是度量相等．

算子S∈L(y)称为等距同构(isometry)，如果对所有v∈V都有

llSvll=lIvll．

也就是说，算子是等距同构当且仅当它保范数．例如，当λ∈F满足Iλl=1时，λI是等距同构．更一般地，设入λ1，......,λn都是绝对值为1的标量，(e1,......，en)是V的规范正交基，S∈L(V)满足S(ej)=λjej．对于v∈V

而且

把S作用到1式的两端可得

根据Iλjl=1，上面最后的等式表明

比较2式和4式可得lIvll=llSvll．也就是说，S是等距同构．

若s∈L(V)是等距同构，则S是单的(因为，若Sv=0,则lIvll=llSvll=0，故v=o)．于是每个等距同构都可逆.

实内积空间上的等距同构通常称为正交(orthogonal)算子．复内积空间上的等距同构通常称为酉(unitary) 算子．我们将采用等距同构这个术语，因此我们的结果对于实内积空间和复内积空间都可用．

相关性质与定理

定义1 如果度量空间(N2，ρ2)的子空间(N0，ρ0)与另一个度量空间(N1，ρ1)是等距同构的，则认为空间(N1，ρ1)可以嵌入到空间(N2，ρ2)。

定理1 (嵌入定理) 令M为一个d维空间，如果存在光滑的微分同胚φ：M→M和有二阶连续导数的y：M→N，有Φ(φ，y)：M→ ，其中Φ(φ，y)=(y(x)，y(φ(x))，y(φ2(x)))，…， )，则Φ(φ，y)是M到的一个嵌入。

对于时间序列{xi，i=1，2，…，n)，经过延迟时间τ嵌入到m维相空间中，可以表示为：

式中

是m维相空间中的点。由定理可知，当嵌入维数m大小合适时，原动力系统的吸引子就可以在高维的重构相空间中完全展开，也就是说，此时原系统的相空间将和重构的相空间微分同胚，它们的动力学特性在定性意义上完全相同。因此可以通过对原系统进行相空间重构，通过将现有的数据纳入到某种可以描述的框架下，来找出混沌吸引子中隐藏着的演化规律，进而揭示出传统方法无法展示的运动特征。

下一个定理提供了等距同构的若干等价条件．这些等价条件有一些重要解释．特别地，(a)和(b)的等价性表明等距同构保内积．由于(a)蕴含(d)，从而若S是等距同构而(e1,......,en)是V的规范正交基，则S(关于此基)的矩阵的列是规范正交的;又因(e)蕴含(a)，故逆命题也成立．

定理：设S∈L(V)，则下列等价：

(a)S是等距同构；

(b)对所有u，v∈V，都有(Su，Sv)=(u，v)；

(c)S*S=I；

(d)若(e1，…，en)是V中的规范正交向量组，则(Se1，…，Sen)是规范正交的；

(e)V有规范正交基(e1,......，en)使得(Se1，......,Sen)是规范正交的；

(f)S*是等距同构；

g)对所有u，v∈V，都有(S*u，S*v)=(u，v)；

(h)SS*=i；

(i)若(e1，…，en)是V中的规范正交向量组，则(S*e1，…S*en)是规范正交的；

(j)V有规范正交基(e1，…，en)使得(S*e1，…，S*en)是规范正交的．