算术群

李群中带有算术性质的一类离散子群

算术群是较为广泛的一种群，诸如有限群、有限生成的交换群、无挠的有限生成幂零群以及有限生成的非交换自由群等都是算术群。

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李群中带有算术性质的一类离散子群。例如，实数域R中的整数全体Z；GL(n,R)中的GL(n, Z)；SL(n, R)中的SL(n,Z)等。令G=GL(n, R)，Г= GL(n,Z),若GL(n,Q)的子群G′是与Г相称的,则G′称为GL(n,R)中的算术子群。所谓群H的子群H1与H2是相称的,意即H1∩H2在H1及H2中的指数【H1:H1∩H2】与【H2:H1∩H2】都是有限的。相称关系是个等价关系。设G是定义在有理数域Q上的线性代数群,GQ表G的Q有理点所成的子群, 又令GZ=GQ∩GL(n,Z)，若GQ的子群Г与GZ相称，则Г称为G的算术子群。这个性质是与G如何嵌入在GL(n,坴)中无关的。

如果Г 能同构于G 的一个算术子群, 则Г 称为算术群。显然，算术群中的有限指数的子群都是算术群。算术群是较为广泛的一种群，诸如有限群、有限生成的交换群、无挠的有限生成幂零群以及有限生成的非交换自由群都是算术群；如果环R又是有限秩自由Z 模,那么环R的所有单位所成的乘法群R,都是算术群；特别地，代数数域K的整数环的乘法群，都是算术群。

还有一类重要的算术群。自然同态 ω：GL(n,Z)→GL(n,Z/qZ)下的核Kerω=Гq,称主同余子群,这里ω是把任一n阶整系数方阵(gij)映射到方阵(ij)∈GL(n,Z/qZ)，其中q为大于1的正整数，而ij是整数gij所属的模q剩余类。含主同余子群Гq的算术子群Г,Гq嶅Г∩GL(n,Z)称同余子群。所以同余子群必然是算术子群,但是,每个算术子群Г是否都是同余子群,即是否有q使Г∩GL(n,Z)叾Гq，这是算术群理论中的一个核心问题，并称之为同余子群问题。当G=SL(n，R),n≥3时,同余子群问题已有肯定答案，而n=2时是否定的。对G是别的分裂型单连通单代数群时，也有类似结果。

最早研究的算术群是SL（2,Z）,称为模群。设H是复数平面的上半平面，即H ={z=x+iy∈C│y>0}，矩阵以下列方式作用在H上:z ∈H,SL(2,Z)是SL(2, R)中的算术子群，对于这个算术子群SL(2,Z)可以找到H的一个子集D，使D是SL(2,Z)在H上的基本域,即满足①SL(2,Z)·D=H,②若g′∈SL(2,Z),则集合{g∈SL(2,Z)|gD∩g′D≠═}是有限集,也可以对一般算术群定义基本域。研究基本域的存在，紧致性、测度等方面的理论，称为算术群的简约理论。它也是算术群理论中的一个核心问题。早在19世纪，C.F.高斯和J.W.R.戴德金等人在研究椭圆函数的时候，就涉及模群SL(2, Z)及模群下不变的模函数，高斯在讨论正定二元二次型的整等价分类时，也已经知道模群的基本域。20世纪30年代C.L.西格尔研究算术群SL(n,Z),并作出了它的基本域，称为西格尔区域,而SL(n,Z)称为西格尔模群。至于一般线性代数群中算术群的研究，则是在60年代由A.博雷尔、哈里什－钱德拉以及J.蒂茨开始。这个概念就是首先在他们研究李群中的格的存在性时产生的。随后，A.赛尔伯格和其他人提出了一个著名的猜想：R-秩大于2的任一半单李群的不可约格皆是算术的。经过博雷尔、M.拉格休内森等许多著名数学家的努力工作，这一猜想最后为G.A.马圭利斯所证实，他因此获得1978年的费尔兹奖。这些工作大大地推动和丰富了算术群的研究。

元素的种

算术群的元素的种其中p取遍所有素数，Q和吞分别表示有理数域和p进整数环. 元素“的李(c地)定义为它在Gz中的共扼类一个元素a的种分解为不相交的类的个数是有限的(〔11)，此数记为无(a)，称为元素a在种中的类数这里出现的几上的函数无是在关于共辘的问题中用以反映局部一整体原则的偏差程度的重要数值特征一般说来，进而言之，如果群G是半单的并且群乓是无限的，则对于任一算术子群，有时法(a)“co这里所考虑的概念是二次型理论中相应的经典概念的自然的变形，用于与共扼性有关的算术群的剩余逼近的研究中。

参考书目

A.Borel,Introduction αux Groupes Arithméti-ques,Hermann, Paris. 1969. 　J.E.Humphreys,Arithmetic Groups,Lecture Notes in Math.789，Springer-Verlag, Berlin, 1980.　M.S.Raghunathan,Discrete Subgroups of Lie Groups,Springer-Verlag, Berlin, 1972. 　G.A.Margulis,Arithmeticity of Irreducible lattices in Semi-Simple Groups of rank Greater Than 1,Mir.,Moscow, 1971.

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