除子

数学术语

除子概念起源于代数几何。这是代数几何最为关键的概念之一。一条代数曲线上的除子就是曲线有限个点的带有重数的组合；一片代数曲面上的除子就是曲面上有限条代数曲线的带有重数的组合；更一般的，一个n维代数簇上的除子就是它上面有限个n-1维代数超曲面的带有重数的集合。

定义

一般地，对于代数闭域上的非奇代数簇，它可以定义为余维数为一的子簇的(整系数)形式和，也可以定义为层的一个整体截面。在满足一定条件的（可以是奇异的）代数簇上，这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。

黎曼曲面上的除子

在黎曼曲面上，它可以简单的定义为上的点的(整系数)形式和，，其中是上的点。型如的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。上的全部除子构成一个交换群，记作。

对于上的非零亚纯函数，我们可以定义的除子

其中是在点零点的阶（非零点的阶为零，极点的阶按负值计）。型如的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作。除子类群定义作。对于紧黎曼面，这是一个有限生成的交换群，它是紧黎曼面的一个重要不变量。

从层论的观点看，除子是一个局部的概念，对于上任意的除子，和的开集，可以定义在上的限制。函子是上的层。

给定上任何一个除子，局部上都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说，一定存在的一组开覆盖以及每个上的函数，使得。一般说来，在和的交集上，和的限制未必相等，但易见在上，存在一个处处非零的全纯函数，使得。另外，的选取不是唯一的，因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数来修正它。反过来，任意一组这样的数据，都给出了上的一个除子。

以上论证表明，黎曼面上的任意一个除子，都唯一地对应于层的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。

从Cartier的观点出发，不难构造除子所对应的可逆层：取的一组开覆盖，以及每个上的函数，使得。取上的平凡层，在交集上，如前所述是上的一个可逆函数，从而它定义了上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射，不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件，从而他们给出了上的一个可逆层。

反过来，对于黎曼曲面，每个可逆层都来自于一个除子。事实上，若是可逆层，令为任意一个亚纯截面的除子，则。

易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子，则他们定义的线丛是同构的。

从线丛的观点看，若两个除子之差为一主除子，我们可以把它们视作等价。上面定义的映射给出了它与的一个同构。这里是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。

任意一个除子，我们可以定义的次数。根据定义，这一定是一个有限和。对于紧黎曼面，主除子的次数总为零。由此可见，除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。

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