陪集

陪集是指H是群G的子群，对于某一g∈G，{gh|对于所有h∈H}表示H的一个左陪集，记作gH;{hg|对于所有h∈H}表示H的一个右陪集，记作Hg；也译作傍系，旁集等。

简介

在数学中，如果G是一个群，H是G的一个子群，g是G的一个元素，那么

gH = {gh：对于所有h∈H}表示H的左陪集，

Hg = {hg：对于所有h∈H}表示H的右陪集。

只有当H是常态的时候，H的左陪集和H的右陪集是重合的，这是子群的一个定义。虽然从子群派生，但陪集通常本身不是G的子群。

陪集是G中某些子群的左陪集或右陪集。由于Hg = g（g-1Hg），右陪集Hg和左陪集g（g-1Hg）相同。因此，除非首先指定子群，否则将陪集称为左陪集或右陪集是没有意义的。换句话说：一个子群的右陪集等于不同（共轭）子群的左陪集。如果左陪集和右陪集是相同的，那么H是一个正常的子群，并且陪集形成一个称为商或因子群的群。

映射gH↦（gH）-1 = Hg-1定义左陪集和H的右陪集之间的双射，因此左陪集的数量等于右陪集的数量。公共值称为G中的H的索引。

对于阿贝尔群，左陪集和右陪集始终是相同的。如果群操作是相加的，则使用的符号变为g + H或H + g。

陪集是研究团体的基本工具；例如，他们在拉格朗日定理中发挥核心作用。

举例

令G =（{-1,1}，×）是乘法下由{-1,1}形成的群，与C2同构，H为子组（{1}，×）。那么{-1} =（-1）H = H（-1），{1} = 1H = H1是G中唯一的陪集。因为它的左和右陪集关于G的任何元素重合，H 是G的子群。

整型

令G是整数的加群，Z =（{...，-2，-1,0,1,2，...}，+），H是子群（mZ，+）=（{。 ...，-2m，-m，0，m，2m，...}，+）其中m是正整数。那么G中H的陪集是m组mZ，mZ + 1，...，mZ +（m-1），其中mZ + a = {...，-2m + a，-m + a，a ，m + a，2m + a，...}。由于mZ + m = m（Z + 1）= mZ，所以不超过m个陪集。陪集（mZ + a，+）是模m的同余类。

矢量

陪集的另一个例子来自于向量空间的理论。向量空间的元素（向量）在向量加法下形成一个阿贝尔群。不难显示向量空间的子空间是该群的子群。对于向量空间V，子空间W和V中的固定向量a，集合

称为仿射子空间，并且是陪集（左和右，因为该组是阿贝尔语）。在几何向量方面，这些仿射子空间是与子空间平行的“线”或“平面”，这是通过原点的线或平面。

使用等价类的定义

一些作者定义G中的H的左陪集是当且仅当x-1y∈H时由x〜y给出的等价关系下的等价类。该关系也可以由x〜y定义，并且只有对于H中的某个h，xh = y。可以表明，给出的关系实际上是等价关系，并且两个定义是等价的。因此，G中H的任何两个左陪集是相同的或不相交的。换句话说，G的每个元素都属于唯一的一个左陪集，所以左陪集形成了G的分区。相应的声明适用于正确的陪衬。

双重陪集

给定两个子群，G群的H和K，G中的H和K的双重陪集是形式为HgK = {hgk：h是H的元素，k是K的元素}的集合。当H = 1和K = 1时，这些是H的左陪集和H的右陪集。