不可数集

数学概念

设 A 和 B 是两个集合，讨论集合中元素的多少问题，如果 A 和 B 都是有限集，则只需分别数出它们的元素个数，再加以比较即可；但是当 A 和 B都是无限集时，无法数出它们的元素个数，此时可通过“映射”的概念建立集合间的等势关系，并拓广集合中元素个数的概念，引进集合基数的概念，最后将集合分为可数集和不可数集。不可数集是既不是有限集合，也不是（无限）可数集的集合，我们称不是可数集的集合为不可数集。

预备知识

等势

设 A 和 B 为集合，若存在 A 到 B 的双射，则称 A 与 B 等势，即为。集合A 与 B 等势可以形象地说为“A 和 B 集合中的元素一样多”。

有限集与无限集

可以利用等势概念来定义有限集：设，若集合 A 与等势，则称 A 为有限集，否则称为无限集。特别的，空集称为有限集。

（1）自然数集合 N 是无限集。

（2）任何有限集均不能与其真子集等势。

基数

与有限集合中元素的个数的记法一样，集合 A 的基数用表示。显然，每个有限集都恰与集合等势，其中，。若，则令；对于无限集，则用一个特殊记号表示，例如对自然数集合 N ，令ℵ0（读作“阿列夫零”）。

我们希望基数像普通数一样，也具有相等关系和大小顺序。设 A 和 B 为两个集合：

（1）若 A~B，则称 A 的基数和 B 的基数相等，记为 | A |=| B |，否则记为| A l ≠ l B l；

（2）若存在 A 到 B 的单射，则称 A 的基数小于或等于 B 的基数，记为l A I ≤l B l，或者称 B 的基数大于或等于A的基数，记为l B l ≥l A |；

（3）若l A I ≤l B l，且| A l ≠ l B l，则称A的基数小于 B 的基数，记为| A | < | B |，或者称B的基数大于A 的基数，记为l B l > l A |。

由定义，l A I=l B I可形象地理解成，A 中的元素与 B 中的元素一样多。显然，上述定义是有限集合的元素个数有大小的推广。容易验证，集合基数的关系具有自反性和传递性。义由Bernstein（伯恩斯坦）定理知，集合基数的关系还具有反对称性。因此，集合基数的关系是一个偏序关系，进一步还可以证明它是一个全序关系。于是，像实数一样，任何两个基数均可以比较大小，基数也有无限多个，而且无最大者。

关于基数，有如下结论：

（1）设A 和 B 为两个集合，于是l A I ≤l B l，或者l B I ≤l A l。

（2）基数之间的相等关系“=”是一个等价关系。

（3）基数之间的小于或等于关系“≤”是一个偏序关系。

定义

不可数集是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系/法则），那么它就是一个不可数集。

设 A 是一个集合，若 A 与自然数集 N 等势，则称 A 为可数无限集；若 A 是有限集，则称 A 为可数集。不是可数集的集合称为不可数集。

应用典例

实数集R

康托尔在1874年和1891年分别用两种不同的方法，证明了实数集是不可数集。其中1891年所用的方法更加为人所熟知，又被称为对角线法。证明发表之后，这种方法在数理逻辑中获得广泛应用。

证明过程：令，函数是从 R 到 S 的双射，因此 card(R)=card(S) ，下面证明S是不可数集。

反证法，假设 S 是可数集，则 S 可以表示为，其中，设：