可数集

数学术语

可数集（Countable set），是指每个元素都能与自然数集N的每个元素之间能建立一一对应的集合。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。

定义

可数集的一个定义是“能与自然数集的某个子集一一对应的集合”。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。

“可数集”这个术语也可以代表能和自然数集本身一一对应的集合。两个定义的差别在于有限集合是否被视为可数集。为了避免歧义，前一种意义上的“可数”有时称为“至多可数”，后一种“可数集”则又称为“无限可数集”。

新定义

可列和可数在英文里是一个词：countable，这是以前科学不够发达，不需要进行区分时的结果。而我们需要进行概念区分，因此按字面意思，将“可列”理解为“可以写出”；“可数”理解为“可以记数”。在下面的论述中，分这样两个概念讨论。我们无法写出一个最大的自然数，因此自然数全体是不可写全的，任何无限集，都是不可写全的。如果有一些数，位数多的我们承认有生之年无法完全比较，而在可比较的范围内它们又一样，这样我们在数元素个数时，不知道它们该算一个元素还是多个元素，这种情况，称为不可记数。

从定义可以看出，不可写全的数，如果我们发现它的一部分，和集合中的其它元素都不一样，我们就知道它是一个独立元素，就可以记数。而不可记数的数，我们可能可以知道它的数量范围（最大数量每个算一个元素，最小数量认为只有一个元素），或者也可以知道它们都是可写的。因此这两个概念是有交叉而互不影响的。无理数除了能用有理数表示的和可以定义的，都是不可列的。

定理：最大元素数量的有限集（如果存在的话），或与最大数量有限集差固定常数的集合（如果仍然存在的话），是不可能写全的。最大元素数量有限集是无限趋近于无限集的，以至于没有手段进行判断。任何定义的无限集或有限集都需要满足此公理。

证明：假设最大有限集元素被全部写出，那么写完其中所有元素后，再增加一个元素，该集合元素数量还是有限的，但元素数量比已写出的集合元素数量多1，证明原来假设写出的是数量最多的有限集不成立。所以最大元素数量的有限集，是不可能写全的。假设与最大数量有限集差固定常数的集合被全部写出，那么再写该常数多个元素，就能写出最大有限集，这与刚才的结果矛盾。

定理：位数最多的非无限循环有理数（如果存在的话）是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以至于没有手段进行判断。

证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。

性质

可数集具有以下性质：

1、可数集的子集是至多可数的；

2、有限多个可数集的并集是可数的；

3、在承认可数选择公理的前提下，可数多个可数集的并集是可数的；

4、有限多个可数集的笛卡尔积是可数的；

5、对集合S，下面3种说法等价：

（1）S至多可数，即存在S到自然数集的单射；

（2）S为空集，或存在自然数集到S的满射；

（3）S为有限集或存在自然数集与S间的双射。

6、值域为可数集的单射，其定义域至多可数；

7、定义域为可数集的满射，其值域至多可数。

实例

自然数

0，1，2，3，4，5，6，……，n，……

根据定义，自然数集显然是可数集。

注意一个可数集“可数”的方式不一定唯一，如下面也是自然数集和自身的一一对应：

1，0，2，3，4，5，6，7，8，9，……（以下按顺序排列）

6，5，4，3，2，1，0，7，8，9，……（以下按顺序排列）

1，0，3，2，5，4，7，6，9，8，……（以下按规律排列）

非负偶数

0，2，4，6，8，10，12，……，2n，……

非负偶数组成的集合是一个无限可数集，由上面列举的顺序即可看出对应关系：非负偶数2n对应自然数n。

非负奇数

1，3，5，7，9，11，13，……，2n+1，……

同理，非负奇数2n+1对应自然数n。

这说明一个可数集可以含有可数的真子集，反过来，两个可数集也可以并成一个可数集。

整数集

0，1，-1，2，-2，3，-3，……

尽管看起来比自然数集“大”，整数集依然是可数的。

有理数集

0，1/1，-1/1，2/1，-2/1，1/2，-1/2，3/1，-3/1，3/2，-3/2，1/3，-1/3，2/3，-2/3，4/1，-4/1，4/3，-4/3，1/4，-1/4，3/4，-3/4，5/1，-5/1，……

整数集与有理数集都是可数集。按照基数概念，能一一对应的两个集合的基数相同，于是有理数集、整数集、全体正偶数集等与自然数集有相同的基数。在这个意义上说，这些集合所含元素是“一样多”，但这些集合又是一个包含另一个作为真子集，所以又不同于有限集元素的“多少”概念。

值得注意的是，并非所有的无穷集都是可数集，因为G.康托尔证明了实数集不是可数集，这样，实数集与自然数集有不同的基数，因而说明了无穷集所含元素数量的多少还有某种层次区别。

正整数集合

∅，{1}，{2}，{1,2}，{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，……

注意到任何正整数集的有限子集都有有限的最大元素，可证。

正整数序列

空序列，（1），（2），（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（3），（1,3），（2,3），（3,3），（1,1,1），（1,1,2），（1,1,3），（1,2,1），……（3,3,3），（4），（1,4），……，（4,4），（1,1,4），……，（4,4,4），（1,1,1,1），……，（4,4,4,4），（5），……

注意到任何正整数的有限长度序列都有有限的最大元素和有限的项数，从而可以取二者的较大值，可证。

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