剩余类环

数学术语

剩余类环是有理整数环的剩余类环Z/mZ的推广。设{F，S}为普通算术域，且F对S中每一赋值的剩余类域均为有限域，设O为F的S整数环，A，B为O的理想，记N(A)=#(O/A)，称为A的范数，它是积性的，O/A有许多类似于Z/mZ的性质：1.bx≡c(mod A)有解当且仅当(b，A)除尽c，且模A/(b，A)解惟一(式中b，c，x∈O)；2.以Φ(A)记环O/A中单位元个数，若(A，B)=1，则Φ(AB)=Φ(A)Φ(B)，且Φ(A)=N(A)∏(1-1/N(p))，式中p|A过素理想∑Φ(B)=N(A)，式中B|A过理想；3.若b∈O，(b，A)=1，则bΦ(A)≡1(mod A)。

定义

设A是环R的一个理想，若把A，R看作加群，这样A是R的一个不变子群，且由A的陪集a+A=[a]，b+ A=[b],..作成R的一个分类，这些类叫做模A的剩余类。而所有这些类组成的集作成一个环，叫做模A的剩余类环，记作R/A。

比如，(n)是Z的一个理想，由(n)的陪集0+(n)=[0]，1+(n)=[1]，2+(n)=[2]，...，n-1+(n)= [n-1]作成Z的一个分类，且集合{[0]，[1],...,[n-1]}作成一个剩余类环Z/(n),也就是Zn。可见，一般的剩余类环是模n的剩余类环Zn的推广。

实例分析

我们将给出剩余类环这个重要概念的另一个实例。令F是一个实数域，并且考虑环F[x]中的理想n= (x2+1)，如果f(x)是F[x] 的任意元素，那么由除法变换我们有：f(x)=g(x)(x2+1)+a+bx，此处a和b都是实数，因此，对模n的每一个剩余类所包含的是零或者至多是一次的多项式，而且a+bx和c+dx在不同的剩余类中，除非是a=c和b=d，因为除了在这种情况下，a+bx≡c+dx(n)是不可能的，这样F[x}/n的不同元素的确就是剩余类

由F[x]/n中加法和乘法的定义，我们看到

和

上面的第一式是明显的，而第二式由观察式：(a+bx)(c+dx)=ac-bd+(ad+bc)x+bd(x2+1)，所以(a+bx)(c+dx)=(ac-bd)+(ad+bc)x(n)，读者必须注意这些公式与复数的加法和乘法的普通规则的相似性——事实上，环F[x]/(x2+ 1) 就是复数域，除了使用的符号以外，实质上是相同的。

另外一个实例可能是有趣的，令是一个整数环，而m是多项式环中的理想(2，x2+x+1)，利用前面例子的论证，以x2+x+1代替x2+1，可以看出，对模m的任一个剩余类包含一个形如a+bx的元素，此处a和b都是整数，然而在这种情况下，m包含整数2，因而每一个整数对模m的同余不是0就是1，因此刚好有4个剩余类，就是

而且因为x(x+1)=1+(x2+x+1)-2≡1(m)，我们看到

所以的每一个非零元素有一个逆元，因此是一个域，这就是我们的第一个有限域的实例，它不是的形式，此处p是一个素数，事实上，可以证明，虽然我们省略这个证明，那就是对于适当选择的理想m，则任何有限域都可以象剩余类环一样而得到。