结构

数学术语

在汉语中，结构一词，可以指组成体系的各部分的组织与搭配方式，也可以指拥有这种各部分组织与搭配方式的体系。

基本释义

对全体实数的集合，我们往往默认实数间的加法与乘法(减法与除法作为它们的逆运算自然诱导出)，但这些运算并不是理所当然的，我们可以考虑一个没有任何运算的纯数集。

此时，集合内除了散乱的数，没有别的东西。显然，这样的集合也没有太大的意义。我们无法问两个数加起来等于什么，无法问两个数之间的距离，因为这些东西都尚无定义。

若对该集合赋予一些满足公理(如加法与乘法的交换律、结合律、分配律等)的运算，且这些运算描述了数集中元素的关系，我们就可以称赋予了这些运算的集合为一个代数结构。代数结构的例子有群、环、域等。

又比如，对于一个集合A={纽约，莫斯科，巴黎}，我们可以为该集合附加一个满足相应条件(比如必须大于0)的“度量”，或者说距离函数，将任意两个城市组成的二元组，例如(纽约，莫斯科)作为自变量，以一个数作为因变量。我们可以将这个数当作是这两个城市间的距离。换言之，度量(结构)使得我们可以询问任意两个元素间的距离。此时，集合A也就成为了一个(数学)结构，即度量空间。

一般而言，集合+(数学)结构=空间。常见的例子有线性空间、线性赋范空间、内积空间、n维欧几里得空间、希尔伯特空间、拓扑空间等。

常见分类

我们往往可以看到一些代数结构(Algebraic Structure)，比如交换代数、结合代数、外代数、李代数等。

也可能会看见一些“几何结构”(Geometric Structure)，比如n维欧几里得空间、非交换几何等。

代数结构常指被赋予关系与运算的集合，由这些关系与运算所能得到的结果，往往也就构成了一个“代数”，此时“代数”一词是作为结构而存在的(如上文的李代数)。

几何结构，最广泛地说，可以被视为定义了一些集合子集的分类，以及它们之间运算的规则。可选地，我们可以将一个集合S上的几何结构G看作满足(确定性质的)S的幂集的一个或多个子集。举例来说，欧几里得的平面几何，平面是一个点集，点、线、平面图形等都是平面的子集，它们自身也是点集。两点之间只有一连线之类的规则，定义了它们之间的关系与运算。

需要注意的是，这两种结构并不是泾渭分明的，例如，对于一个平面，我们可以将其视为一个欧几里得的几何结构，也可以将其视为一个解析几何的代数结构。

举例说明

对一个实数三元组的集合{(x,y,z)|x,y,z∈R}，作为(其中是笛卡尔积)即，可以给其附加一个线性结构，一个欧式内积(结构)，由内积诱导出度量(结构)与范数(结构)，使得其成为一个实数域R上的3维欧几里得空间。

又例如，对于一个(实)拓扑流形，赋予其类微分结构，使其成为一个类(实)微分流形。

数学结构间的映射2——同构

考虑两个线性空间V和W。

从V到W的同构映射，就是一个线性映射，或者，如果是从V映射到V，也可以叫做线性变换(将V中的元素E变换为另一个元素F)。是的，线性代数里的核心概念之一——线性映射，就是两个代数结构之间同构映射的一个例子。它保持了线性组合的结构(几何上将直线映射为直线，平面映射为平面)，即如果V中的几个向量a、b、c有一个线性组合的关系——2a+3b-c，在映射后变成f(2a+3b-c)=2f(a)+3f(b)-f(c)。

f(a)、f(b)、f(c)是a,b,c被映射之后的像，。显然，a,b,c被映射后，其线性组合的形式依然不变，依旧是2d+3e-g的形式[其中d、e、g是代数项，代表任何向量，例如f(a)、f(b)]，而不是别的，例如114d+514e+3.1415g。

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