超实数

数理科学术语

超实数(Hyperreal number)是一个包含实数以及无穷大和无穷小的域，它们的绝对值分别大于和小于任何正实数。

历史

在17世纪微积分学的初创时期，人们就注意到这门学科的基础问题。I.牛顿和莱布尼茨都曾使用过无穷小，尤其是莱布尼茨及其跟随者，在一阶和高阶无穷小的基础上，发展了微积分理论；他们完全允许引进无穷小和无穷大，而且把它们看做是类似于虚数的理想元素，这些理想元素服从于普通实数的定律。他们所用的记号，在欧洲大陆上被广泛采用。这些记号的优越性，促进了当时微积分理论在欧洲大陆上迅速发展。因此，鲁宾孙把莱布尼茨视为非标准分析的真正先驱者。但是这个理论却存在着显著的内在矛盾──有时把无穷小看作非零而作除数，有时又把它看作是零而舍去。局限于当时的条件，这个矛盾一时还不能彻底解决，难免受到非难和攻击。英国的主观唯心主义哲学家B.贝克莱(1685～1753)主教在1734年著文攻击无穷小为“消失了的量的幽灵”。直到19世纪,A.-L.柯西、B.波尔查诺和K.（T.W.）外尔斯特拉斯用极限理论为数学分析建立了逻辑上严谨的基础，从而促进了数学分析的大发展。

此后，无穷小和无穷大在分析学中就再也没有地位，只剩下了诸如“某变量趋于无穷大”这一类的说法而已。极限理论虽然使得数学分析获得了逻辑的严谨性，但是却失去了无穷小方法的简明性和直观性。正因为无穷小方法便于缩短论证，“更合于发明家的艺术”。许多物理学家、经济学家和工程师仍习惯于运用无穷小方法。然而，数学家们却认为在数学分析中作为数的无穷小是不存在的。直到20世纪60年代，鲁宾孙运用数理逻辑严谨地论证了无穷小的存在性，圆满地解决了莱布尼茨的“无穷小的矛盾”的问题，开创了非标准分析。接着W.卢森堡用超幂方法构造了非标准模型，以后又构造了多饱和模型。此后，非标准分析发展很快，现已成功地应用到许多方面，如点集、拓扑学、测度论、函数空间、概率论、微分方程、代数数论、流体力学、量子力学、理论物理和数理经济等。非标准分析为具有众多的小额贸易的商业市场提供了一个很好的模型。还有，它对模拟一个在边界为无穷大的容器中的压力下进行气体的热力学过程是很有成效的。非标准分析对某些学科中出现的一些困难问题已经作出有益的贡献。例如，用非标准分析方法首先解决了几十年未解决的希尔伯特空间上的多项式紧算子的不变子空间的存在问题；又如，中国数学家用非标准分析方法给出了解决广义函数的乘法问题的一个富有成效的方法；再如，法国数学家对常微分方程的奇异摄动已做出了大量很有意义的成果。还须指出，除非标准分析外，使得无穷小与无穷大能在分析学中使用的还有种种尝试。在这方面最有成效的有D.劳格维茨的无穷小数和中国学者提出的广义数的研究。

定义

美国数理逻辑学家A.鲁宾逊于1960年创立。鲁宾逊证明，实数结构可扩张为包含无穷小数和无穷大数的结构，在一定意义下与有相同的性质。称中的数为超实数，形象地说，是在普通实数中又加进了无穷小数（其绝对值小于任何实数）及无穷大数（其绝对值大于任何实数）。当两个超实数与相差为无穷小时，就称无限接近于，记为，这是一个等价关系。每个关于这个等价关系的等价类包含唯一的标准实数。称所在的等价类为一个单子，单子不是中的数，而相当于中的数，超实数可以进行四则运算，满足通常的运算规律，也可以有大小顺序。由此标准分析里的许多概念、定理等可以自然地扩张到非标准分析中。如区间扩张为，中的函数扩张为，函数在标准点连续可定义为时，；函数在上一致连续可定义为当，，时。

简介

超实数系统是为了严格处理无穷量（无穷大量和无穷小量）而提出的。自从微积分的发明以来，数学家、科学家和工程师等（包括牛顿和莱布尼兹在内）就一直广泛地用无穷小量等概念。超实数集，或称为非标准实数集，记为，是实数集 ℝ 的一个扩张；其中含有一种数，它们大于所有如下形式的数：

这可以解释为无穷大；而它们的倒数就作为无穷小量。ℝ 满足如下性质：任何关于 ℝ 的一阶命题如果成立，则对 ℝ 也成立。这种性质称为传达原理。举例来说，实数集的加法交换律

是关于 ℝ 的一阶命题。因此以下命题同样成立：

也就是说超实数集同样满足加法交换律。

无穷小量的概念是否严格呢？此问题可以追溯到古希腊数学：数学家们如欧几里得、阿基米德等，为了在一些证明里绕开无穷小量的争议以保证严格性，而采用了穷竭法等其它说明方式。而亚伯拉罕·鲁滨逊在1960年代证明了，

超实数系统是相容的，当且仅当实数系统是相容的。

换句话说，如果对实数的使用没有怀疑，那也可以放心使用超实数。在处理数学分析的问题时对超实数、尤其是传达原理的使用，通称为非标准分析。

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