非线性系统理论
物理学科
非线性系统理论，nonlinear systems theory，是在自动控制理论中研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。
理论介绍
一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程给出的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释，主要原因是非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波振荡、自激振荡、频率捕捉、异步抑制、分岔和混沌等。
非线性系统的一个最重要的特性是不能采用叠加原理来进行分析，这就决定了在研究上的复杂性。非线性系统理论远不如线性系统理论成熟和完整。由于数学处理上的困难，所以还没有一种通用的方法可用来处理所有类型的非线性系统。
非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数学模型。
非线性现象
非线性系统理论的研究对象是非线性现象,它是反映非线性系统运动本质的一类现象,不能采用线性系统的理论来解释。主要的非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波振荡、自激振荡、频率捕捉、异步抑制、分岔和混沌等。
频率对振幅的依赖性
这种非线性现象只出现在一类非线性系统的自由振荡中。一个著名例子是由杜芬方程 所描述的一类机械系统的自由振荡。式中m是重物的质量，x是重物的位移，和分别是x的一阶和二阶导数，f是阻尼器的粘性摩擦系数，kx+k'x3表示非线性弹簧力。参数 m、f 和k均为正的常数。参数k'为正时称为硬弹簧，k' 为负时称为软弹簧。使重物有一个初始位移后，系统即产生自由振荡。从实验中可观察到：在k'为正时，随着自由振荡振幅的减小，频率值增大；在k'为负时，随自由振荡的振幅减小，频率值减小。图2中：k'=0时的波形有7个峰，且间距相等，表明频率不随振幅的减小而变，k'＞0时达到第7个峰的时间较k'=0时的短；表明频率随振幅的减小而增加;k'＜0时在相同的时间内只有6个波表明频率随振幅的减小而减小。
多值响应和跳跃谐振
这种非线性现象出现在一类非线性系统的强迫振荡中。一个典型例子是在重物上加形式为 Pcosωt 的外力时所激发的强迫振荡。实验时，让外力作用函数的振幅P保持常值，缓慢地改变频率ω，观察重物作强迫振荡时的振幅X。反映多值响应和跳跃谐振的特性曲线如图3。当频率增大到某个极限值（如点2）或减小到某个极限值（如点5）时，强迫振荡的振幅X都会产生跳跃现象;而在这两个极限值所限定的频率范围内，对于同一频率的外作用函数，可能出现两个在幅值和相位上都不相同的强迫振荡。
分谐波振荡
这种非线性现象只出现在某些非线性系统的稳态振荡中。分谐波振荡被激发后，在一定的频率范围内，不管外作用函数的频率ω如何改变，稳态振荡的频率始终为ω/n,其中n为某个正整数称为分谐波振荡的阶数。分谐波振荡的产生取决于系统的参数，并且必须在某种冲击，如突然改变外作用函数的振幅或频率。
自激振荡
频率捕捉
这种非线性现象可能在出现极限环的一些非线性系统中观察到。对一个能出现频率为ω0的极限环的系统,加上一个频率为ω的周期性外作用,改变（增大或减小）ω的数值使两者的差值减小。从实验中发现，在差值达到某个极限值后，极限环的频率ω0和外作用频率ω取得同步，亦即ω0为ω所捕捉。发生捕捉现象的频带区称为捕捉区。表示频率捕捉现象的特性曲线如图4,横坐标上的区间Δω为捕捉区。
异步抑制
又称信号稳定。其机制是，采用使系统处于频率为ω1的强迫振荡状态，来抑制和避免系统中可能出现的频率为 ω0的极限环振荡。这里两个频率ω1和ω0是互不相关的。
分岔
混沌
1963年气象学家E.N.洛伦茨在研究天气预报问题的大气对流模型的数值实验中首先发现的一种非线性现象。其特点是某些非线性系统在一定参数范围内变得对初始条件非常敏感，会导致非周期的、看起来很混乱的输出。后来，在生态系统等研究中也发现混沌现象。80年代以来，关于混沌的研究已成为一个非常活跃的领域，得到了一些严格的数学结果，但更多的是计算机实验，真正的物理实验也在日益增多。
分析方法
对于非线性系统尚未建立起象线性系统的分析那样成熟和系统的一套方法，在应用上比较有效的主要方法有四种。
双线性系统理论 对于双线性系统这一特殊类型非线性系统建立的分析和综合方法。
流形上的控制理论 这一理论的发展始于70年代初期，它是以微分几何为主要数学工具的一种分析方法。流形上的控制理论为非线性系统的研究提供了一条新的途径，可用以研究非线性系统的某些全局和局部性质。
发展趋势
60年代以来，非线性系统理论的发展进入了一个新阶段。对分岔现象和混沌现象的研究已成为非线性系统理论中很受重视的一个方向。突变理论、耗散结构理论和协同学这些也以非线性系统为研究对象的新兴学科相继出现，它们的方法和结果将对非线性系统理论乃至整个系统科学产生重要影响。此外，随着微分几何方法（特别是微分流形理论）引入于非线性系统的研究并得到了某些有意义的结果，非线性泛函分析、奇异摄动方法和大范围分析等现代数学分支也已开始用于非线性系统理论的研究。
相关书籍
图书信息
书 名: 非线性系统理论
作 者：方勇纯
出版社： 清华大学出版社
出版时间： 2009年05月
ISBN: 9787302193036
开本： 16开
定价: 22元
内容介绍
《非线性系统理论》适用对象为高等院校自动化专业研究生，以及从事非线性控制系统分析与设计的工程技术人员。非线性控制是近年来控制理论界非常活跃的一个研究领域。本教材重点讨论基于李雅普诺夫方法的非线性控制及其在实际系统中的具体应用，首先介绍李雅普诺夫稳定性理论，然后依次对非线性系统精确线性化、自适应控制、鲁棒控制、学习控制等方法进行讨论，同时应用李雅普诺夫理论对于这些控制方法进行稳定性分析。
在内容安排上，第2、3章是理论基础。其中，第2章重点介绍书中所涉及的数学背景，主要包括用于信号分析的几个重要定理以及少量的微分几何基础知识。第3章讨论李雅普诺夫基本理论，给出各种稳定性的数学定义，并重点介绍李雅普诺夫稳定性理论和拉赛尔不变性原理。第4～8章是对于自适应控制等多种方法的具体介绍和理论分析，各章相互独立，读者可以选择感兴趣的方法进行学习。第8～10章主要介绍非线性控制方法在典型对象，如机器人系统、欠驱动吊车系统和磁悬浮系统中的具体应用。
作者介绍
方勇纯，男，南开大学教授，博士生导师，IEEE高级会员，中国自动化学会控制理论专业委员会、智能自动化专业委员会委员。1996年和1999年分别获得浙江大学工学学士和硕士学位。2002年12月毕业于美国克莱姆森大学（Clemson University）电机系，获工学博士学位。2002年12月至2003年11月在美国康奈尔大学（Cornell University）机械与航天工程系进行博士后研究。主要研究方向为机器人视觉伺服，非线性控制及应用，基于原子力显微镜的微纳米系统。2006年入选教育部“新世纪优秀人才支持计划”，2008年获天津青年科技奖提名奖，2009年获“天津市优秀留学人员”荣誉称号。
图书目录
第1章 非线性系统简介
1．1 引言
1．2 非线性系统的复杂性能
1．2．1 非线性系统的多平衡点特性
1．2．2 极限环
1．2．3 混沌
1．2．4 其他非线性现象
1．3 非线性控制的重要意义
1．4 常见的非线性系统设计与分析方法
1．4．1 相平面分析法
1．4．2 描述函数法
1．4．3 李雅普诺夫法
1．5 本书的主要内容安排
习题
参考文献
第2章 数学预备知识
2．1 范数及其性质
2．2 函数的连续性
2．3 函数的正定性分析
2．4 信号分析基本定理
2．5 微分几何基本知识
2．5．2 李导数与李括号运算
2．5．3 伏柔贝尼斯定理
习题
参考文献
……
其他版本
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图书信息
内容介绍
本书主要介绍非线性系统的基本理论和一些最新进展。内容包括：近代数学基础、非线性系统基本理论、系统的可控性和可观测性、局部分解、反馈线性化、解耦控制、系统的镇定、Euler-Lagrange系统控制和哈密顿系统控制等。本书注重概念及主要理论的讲述，理论联系实际，重点突出，反映了该领域的基本理论和最新研究成果与进展。本书可作为控制科学与工程等学科的硕士与博士研究生教材，也可作为其他相关科研领域的广大科技工作者的参考书。
章节目录
目录前言
第1章数学基础1
1 1集合1
1 2映射2
1 3拓扑空间4
1 4欧氏空间5
1 5微分流形8
1 7向量场的积分曲线14
1 8微分同胚的导出映射16
1 9李导数17
1 10向量场的李代数19
1 11分布与余分布22
1 12几个基本定理24
1 13代数基础28
1 13 1运算28
1 13 2代数系统29
1 14小结与评述33
第2章非线性系统基本理论37
2 1微分方程的基本概念37
2 2常微分方程的基本理论38
2 2 1自治系统常点附近的向量场39
2 2 2常点附近向量场的直化定理39
2 2 3解的存在性定理40
2 2 4解的局部唯一性定理40
2 2 5解对参数的连续依赖和
可微性定理41
2 2 6解的延拓定理41
2 2 7非自治系统的基本理论41
2 3动力系统基础43
2 3 1动力系统43
2 3 2轨线、庞加莱映射45
2 3 3拓扑轨线等价和拓扑轨线共轭46
2 3 4线性化、双曲性和稳定性46
2 3 5稳定流形和不稳定流形48
2 3 6中心流形49
2 3 7结构稳定性和通有性50
2 3 8分支52
2 3 9普用分支和普适开折55
2 4小结与评述60
第3章可控性、可观测性
和局部分解62
3 1可控性62
3 2可观测性73
3 3局部分解79
3 4小结与评述85
4 1坐标变换线性化87
4 2状态反馈线性化93
4 3部分状态反馈线性化97
4 4完全线性化101
4 5全局线性化108
4 6多变量系统的推广111
4 7实例分析115
4 8几个重要的数学定理119
4 9小结与评述120
第5章非线性系统的解耦控制122
5 1状态方程无反馈解耦122
5 2状态方程反馈解耦126
5 3静态反馈输入输出解耦128
5 4动态反馈输入输出解耦133
5 5小结与评述141
第6章非线性系统的镇定142
6 1通过线性化的局部稳定性和镇定142
6 2使用Lyapunov直接方法
的局部镇定144
6 3中心流形理论与局部镇定147
6 4非线性系统的分段光滑镇定151
6 5小结与评述155
第7章Euler Lagrange系统控制156
7 1Euler Lagrange系统的基本概念156
7 1 1Euler Lagrange方程156
7 1 2耗散性、无源性和内部
稳定性159
7 1 3EL系统的互联160
7 1 4EL系统的稳定性161
7 2定点调节162
7 2 1状态反馈控制162
7 2 3实例分析167
7 3小结与评述169
第8章Hamilton系统控制170
8 1端口受控与端口受控耗散
Hamilton系统170
8 1 1Hamilton方程170
8 1 2端口受控Hamilton
系统170
8 1 3端口受控耗散Hamilton系统171
8 1 4实例分析——串联RLC电路的
PCHD系统模型171
8 2PCHD系统的能量平衡
与能量成型172
8 2 1PCHD系统的能量平衡172
8 2 2PCHD系统的能量成型原理173
8 2 3通过能量平衡进行控制173
8 3互联控制174
8 3 1子系统互联与系统无源性174
8 3 2通过互联控制进行能量成型175
8 4互联和阻尼配置的无源性
控制178
8 4 1控制作为一个状态调制源178
8 4 2互联和阻尼配置的方法181
8 5小结与评述184
第9章Maple在非线性系统理论
中的应用186
9 1计算机代数系统Maple186
9 1 1Maple的结构与界面186
9 1 2Maple的基本功能188
9 2Maple在几何基础中的应用197
9 2 1李导数和李括号197
9 2 2分布和余分布199
9 2 3用Maple计算李导数
和李括号200
9 2 4实例分析203
9 3Maple在可控性和可观测性分析
中的应用206
9 3 1用Maple分析系统可接近性206
9 3 2用Maple分析系统可观测性209
9 3 3实例分析211
9 4Maple在精确线性化设计中的应用215
9 4 1线性化的定义及定理215
9 4 2Maple在坐标变换线性化
中的应用216
9 4 3Maple在坐标变换完全线性
化中的应用218
9 4 4Maple在状态方程反馈精确
线性化中的应用221
9 4 5实例分析223
9 5Maple在输入输出解耦控制
中的应用224
9 5 1输入输出解耦控制224
9 5 2用Maple讨论输入输出解耦
控制问题225
9 5 3实例分析229
9 6小结与评述232
参考文献234
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