齐性空间

流形概念

齐性空间，又称齐性流形，是容有传递变换群的微分流形。齐性空间理论与李群论有极为密切的联系。在几何中出现的许多重要流形都是齐性空间。齐性空间在现代数学的许多分支如李群无限维表示论、调和分析、复变函数、数论和代数几何等方面有广泛的应用。

定义

G空间定义

一个齐性空间是一个G作用传递的G空间。

简明地说，如果X是范畴C中一个对象，则一个G-空间结构是G到范畴C中对象X的自同构群一个同态：

若是承载集合X的一个传递的、对称群，则二元组定义了一个齐性空间。

拓扑群定义

设H为拓扑群G的子群，则商空间G/H称为齐性空间。

齐性空间G/H为豪斯多夫空间，当且仅当H为G中闭集。

相关概念

设X是一个非空集合，G是一个群。如果存在G在X上一个作用，则X称为一个G空间。注意G通过自同构自动作用在这个集合上。如果X还额外属于某一个范畴，则要求G中元的作用是这个范畴中的自同构。从而由G在X上产生的映射保持结构。

理论介绍

在数学，特别是李群、代数群与拓扑群的理论中，关于群G的一个齐性空间是一个非空流形或拓扑空间X，G可传递性作用在X上，G中的元素称之为X的对称。一个特例是群G就是空间X的自同构群，这里自同构群可以是等矩同构群、微分同胚群或是同胚群。在这些例子中，如果直觉想成X于任何地方局部看起来一样，则X是齐性空间。像是等矩同构（刚体几何）、微分同胚（微分几何）或是同胚（拓扑）。一些作者要求G的作用是有效的，不过本文并不要求这样。从而X上存在可以想象为保持X上相同“几何结构”的一个群作用，使X成为一个单G轨道。

性质

例如，若X是一个拓扑空间，则要求群元素在X上的作用是自同胚。G-空间的结构是到X自同胚群的一个群同态

类似地，如果X是一个微分流形，则群元素是微分同胚。G-空间结构是到X微分同胚群的一个群同态

例子

n+1维实正交群O(n+1)在球面Sn的作用是传递的，故Sn是O(n+1)群的齐性空间，稳定子群为O(n)。

n+1维实特殊正交群SO(n+1)在球面Sn的作用是传递的，故Sn是SO(n+1)群的齐性空间，稳定子群为SO(n)。

陪集定理

一般地，如果X是一个齐性空间，而是X中某一给定点的稳定子（选取一个原点），X中的点对应于左陪集。

选取不同的原点一般将得到商去一个不同子群，它与相差一个的内自同构。准确地，

这里是中任何元素使得。注意内自同构与的选取无关，只取决与模去。

如果在X上的作用连续，则是的一个闭子群。特别地，如果是一个李群，则由嘉当定理是一个闭李子群。从而是一个光滑流形，并且X带有与这个群作用相容惟一的光滑结构。

如果是恒同子群，则X是一个主齐性空间。