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正规化子

数学名词

设G为群，a是G中给定的元素，a的正规化子N(a)表示G中与a可交换的元素构成的集合，即由确定的元素（确定子群的元素）可交换群的元素组成的集合（子群）。

定义
设是群的一个子群，称
为在中的正规化子，元素的正规化子记为 。
性质
K的正规化子NG(K)是G的子群，K的子群为NG(K)的正规子群。K为G的正规子群当且仅当NG(K)=G。
相关定理
定理1
设 是群 的任一非空子集，则
(1)
(2) 当 时， 且 。
证明（1）因为 ，故 非空，又在 中任取x，y，则 ， ，从而
即 ， ，故 。
（2）任取 ，由于H是子群，故 从而
又任取 ，则 ，从而 。
如果 ，则对K中任意元素k便有 ，从而便有 ，即
这就是说子群的正规化子 (也叫H的正规化群)是 中以H作为其正规子群的最大子群。
显然子群H的正规化子是整个群 当且仅当H是群 的一个正规子群，另外也可能出现另一种极端，即 ，例如三次对称群 的子群 就属于这种情况。
定理2
设 是群 的一个非空子集， 为 在 中的正规化子，则 中与共轭的子集数等于
，即S的所有共轭子集与 关于 的所有陪集间可建立双射。
证明 令是中含的共轭子集类（即与共轭的全体子集），再令
若 ,则便有 ,从而
即 是M到 的左陪集的一个映射，又易知 还是满射和单射，从而为双射。
定理3
pq阶群（p，q为素数且p
定理4
引理 设 ，是群 的两个共轭子群，且 , ，则
即
定理 设 是群 的一个共轭元素类，则 中各元素的正规化子作成的集合恰好是 的一个共轭子群类。
证明 任取 ，且设 ，由引理有
又设子群H与 共轭，其中 ，令
则由引理知
但是 ，即与 共轭的子群必为 中某元素的正规化子。
定理5
如果群 中有一个具有限指数（大于1）的子群，则在 中必有一个具有限指数（大于1）的正规子群。
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