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正规子群

数学术语

设G是一个群 ，H是其子群。 若H的左陪集与右陪集总是相等（对任何的a∈G，aH=Ha）， 则称H是G的正规子群或不变子群，记为H⊴G。

定义
设G是一个群 ，H是其子群。 当且仅当H满足如下条件之一，称H是G的正规子群或不变子群，记为H⊴G。
1. H的左陪集与右陪集总是相等。
2. ，aH = Ha。
判定条件
除了定义，判定H是G的正规子群。有如下一些等价的条件：
1. ， ；
证： 必要性：任取a ∈ G , n ∈H , 由于H是正规子群, an ∈aH=Ha , 故∃n1 ∈ H,
使得an =n1a, 从而。
充分性 : 任取an ∈aH , 由条件, ，故∃n 1 ∈ H , 使得，从而
an =n 1a ∈ Ha ，故 aH ⊆ Ha .
反之, 任取na ∈Ha , 由于，故由条件，， 因此必∃n 1 ∈ H , 使得，从而na = an 1 ∈aH , 故Ha ⊆ an .
由以上两方面知, aH=Ha ( ∀a ∈ G ), 因而H是G的正规子群.
2. a∈G, ；
证:任取a ∈ G，有，故H是G的正规子群。
3. 对任何a∈G， aH=Ha;
4. 对任何a∈G，b∈G，如果ab∈H,那么总有ba∈H;
5. 商集G/H上有群运算： (aH)(bH)=(ab)H
6. H是 G 的若干共轭类的并集。
7. 有在其中 H为核的某个 G 上的群同态。
应用
f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}
f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, 　f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, 　f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
令G={f1,f2,…,f6},则G关于函数的复合运算构成群。G的全体子群是：
H1={f1}, H2={f1,f2}, 　H3={f1,f3}
H4={f1,f4}, H5={f1,f5,f6}, H6=G
不难验证,H1,H5和H6是G的正规子群,而H2,H3和H4不是正规子群。
性质
满同态保持正规子群的性质，逆映射也是一样。
直积保持正规子群的性质。
G的正规子群的正规子群不一定是G的正规子群，即是说正规子群没有传递性。但是，G的正规子群的特征子群总是G的正规子群。
G的所有2阶的子群都是正规子群。G中每个阶为n的子群都包含一个G的正规子群K，它对G的阶整除n! 。特别地，当p是|G|的最小质因数时，G的所有p阶的子群都是正规子群。
群同态基本定理
任何群同态σ：G→G' 的核Ker σ 都是G的正规子群。
（群同态基本定理） 商群G/Ker σ≌Im σ.
利用群同态的核构造正规子群是一种常用方法。
单群
单群就是指不含非平凡正规子群的群。伽罗华(Galois)证明了交错群 是单群（伽罗华理论）。这一结论和5次以上一元多项式方程是否根式可解密切相关。
群
一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。
设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：
(1)封闭性，a·b∈G;
(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。
满足交换律的群，称为交换群。
群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。
1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。
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